diff --git a/ChangeLog.md b/ChangeLog.md
--- a/ChangeLog.md
+++ b/ChangeLog.md
@@ -6,6 +6,44 @@
 and this project adheres to the
 [Haskell Package Versioning Policy](https://pvp.haskell.org/).
 
+## v0.11.3 — 2026-08-31
+
+A maintenance release. The conversion fast path now compares stuck applications spine to spine, the modal `#!rzk let` gets a clearer surface syntax, and `rzk version --full` describes the build.
+
+Added:
+
+- **`rzk version --full` describes the build** (see [#340](https://github.com/rzk-lang/rzk/pull/340)): the commit with its date, the compiler, the platform, and the Cabal flags. `--json` prints the same record as an object, and the bare version stays the default output. The library exports the version as `Rzk.Version`.
+
+- **A suggested move names its holes** (see [#345](https://github.com/rzk-lang/rzk/pull/345)). A candidate spine now renders as `#!rzk id-hom ?A ?x` rather than `#!rzk id-hom ? ?`, taking the names from the lemma's own binders.
+
+Changed:
+
+- **The modal `#!rzk let` forms are reworked**, building on [#334](https://github.com/rzk-lang/rzk/pull/334) by [Islam Talipov](https://github.com/LIshy2) (see [#352](https://github.com/rzk-lang/rzk/pull/352)). The binding form is `#!rzk let ♯ x := a in u`, the eliminator is `#!rzk let mod ♯ x := a in u`, and an explicit external lock is written `#!rzk let ᵒᵖ mod ♯ x := a in u`. Each form takes an optional `#!rzk into` motive.
+
+Fixed:
+
+- **A function meets its η-expansion on a smaller shape** (see [#347](https://github.com/rzk-lang/rzk/pull/347)). Unification required two lambdas to carry logically equivalent domain topes; the domain is now a one-directional subtyping obligation, as for Π-types. The conversion fast path had been masking this bug on the sHoTT corpus.
+
+- **Modal values are identified across spellings** (see [#352](https://github.com/rzk-lang/rzk/pull/352)). The discreteness axiom of a flat point follows its value, the modal η-laws hold by `#!rzk refl`, and the external lock of an extraction is ignored in conversion.
+
+- **A hole in a cube position is offered the cube's points** (see [#344](https://github.com/rzk-lang/rzk/pull/344)). A goal of type `#!rzk 2` now suggests `#!rzk 0₂` and `#!rzk 1₂`, the way every other goal shape offers its introductions.
+
+- **A lemma about projections is offered as a hole candidate** (see [#343](https://github.com/rzk-lang/rzk/pull/343)). A projection applied to a hole is now treated as hole-headed, like a plain hole (see [#338](https://github.com/rzk-lang/rzk/pull/338)), so a result type such as `#!rzk first s = first t` fits any goal while probing candidates.
+
+Performance:
+
+- **Stuck applications are compared spine to spine in the conversion fast path** (see [#346](https://github.com/rzk-lang/rzk/pull/346), [#351](https://github.com/rzk-lang/rzk/pull/351)), following the glued evaluation of Kovács' smalltt. A proof reported by [Benno Lossin](https://github.com/BennoLossin) now checks in about two seconds, down from five minutes.
+
+- **free-foil 0.4.0** (see [#350](https://github.com/rzk-lang/rzk/pull/350)) brings 4% less wall clock and 20% less maximum residency on the sHoTT corpus.
+
+Documentation:
+
+- The README and the docs point newcomers at the interactive games (see [#341](https://github.com/rzk-lang/rzk/pull/341)).
+
+CI / infrastructure:
+
+- BNFC's unbuilt output (`Skel.hs`, `Test.hs`, `ErrM.hs`) is no longer committed (see [#353](https://github.com/rzk-lang/rzk/pull/353)).
+
 ## v0.11.2 — 2026-08-20
 
 A maintenance release. Checking no longer stops at the first declaration that fails, errors are reported at the sub-term rather than at the enclosing declaration, and a lemma stated over a motive is offered as a hole candidate, so an eliminator written in the sHoTT style is visible as a move.
diff --git a/app/Main.hs b/app/Main.hs
--- a/app/Main.hs
+++ b/app/Main.hs
@@ -13,7 +13,6 @@
 #endif
 
 import           Control.Monad           (forM, forM_, unless, when, (>=>))
-import           Data.Version            (showVersion)
 
 #ifdef LSP_ENABLED
 import           Language.Rzk.VSCode.Lsp (runLsp)
@@ -27,7 +26,6 @@
 import           Data.Functor            (void, (<&>))
 import qualified Data.Text.IO            as T
 
-import           Paths_rzk               (version)
 import           Rzk.Diagnostic          (Diagnostic (..), Severity (..),
                                           diagnoseCheckWarning, diagnoseHole,
                                           diagnoseTypeError, ppCheckWarning,
@@ -36,6 +34,8 @@
                                           isWellFormattedFile)
 import           Rzk.Main
 import           Rzk.TypeCheck
+import           Rzk.Version             (ppVersionInfo, versionInfo,
+                                          versionString)
 
 data FormatOptions = FormatOptions
   { check :: Bool
@@ -57,11 +57,21 @@
     <$> parseFields (Just "Allow unsolved holes: report each hole's goal and local context instead of failing") (Just "allow-holes") (Just 'H') Nothing
     <*> parseFields (Just "Output diagnostics (type errors and holes) as JSON on stdout") (Just "json") (Just 'j') Nothing
 
+data VersionOptions = VersionOptions
+  { versionFull :: Bool
+  , versionJson :: Bool
+  } deriving (Generic, Show, ParseRecord, Read, ParseField)
+
+instance ParseFields VersionOptions where
+  parseFields _ _ _ _ = VersionOptions
+    <$> parseFields (Just "Print the commit, compiler, platform and LSP support as well") (Just "full") (Just 'f') Nothing
+    <*> parseFields (Just "Output the build details as JSON on stdout") (Just "json") (Just 'j') Nothing
+
 data Command
   = Typecheck TypecheckOptions [FilePath]
   | Lsp
   | Format FormatOptions [FilePath]
-  | Version
+  | Version VersionOptions
   deriving (Generic, Show, ParseRecord)
 
 main :: IO ()
@@ -130,4 +140,10 @@
               exitFailure
             exitSuccess
 
-    Version -> putStrLn (showVersion version)
+    -- The bare version is the default on purpose: tools (the VS Code
+    -- extension among them) run `rzk version` and read stdout as the version
+    -- string, so the details go behind a flag.
+    Version (VersionOptions {versionFull, versionJson})
+      | versionJson -> BL8.putStrLn (encode versionInfo)
+      | versionFull -> putStr (ppVersionInfo versionInfo)
+      | otherwise   -> putStrLn versionString
diff --git a/grammar/Syntax.cf b/grammar/Syntax.cf
--- a/grammar/Syntax.cf
+++ b/grammar/Syntax.cf
@@ -206,8 +206,12 @@
 ModApp.         Term7 ::= "mod" Modality Term7 ;
 ModType.        Term7 ::= Modality Term7 ;
 ModExtract.     Term6 ::= "$extract$" ModComp Term7 ;
-LetMod.         Term1 ::= "let" "mod" ModComp Bind ":=" Term "in" Term ;
-LetModInto.     Term1 ::= "let" "mod" ModComp Bind ":=" Term "into" Term "in" Term ;
+LetModBind.     Term1 ::= "let" Modality Bind ":=" Term "in" Term ;
+LetMod.         Term1 ::= "let" "mod" Modality Bind ":=" Term "in" Term ;
+LetModFramed.   Term1 ::= "let" Modality "mod" Modality Bind ":=" Term "in" Term ;
+LetModBindInto. Term1 ::= "let" Modality Bind ":=" Term "into" Term "in" Term ;
+LetModInto.     Term1 ::= "let" "mod" Modality Bind ":=" Term "into" Term "in" Term ;
+LetModFramedInto. Term1 ::= "let" Modality "mod" Modality Bind ":=" Term "into" Term "in" Term ;
 First.          Term6 ::= "π₁" Term7 ;
 Second.         Term6 ::= "π₂" Term7 ;
 Unit.           Term7 ::= "unit" ;
diff --git a/rzk.cabal b/rzk.cabal
--- a/rzk.cabal
+++ b/rzk.cabal
@@ -5,7 +5,7 @@
 -- see: https://github.com/sol/hpack
 
 name:           rzk
-version:        0.11.2
+version:        0.11.3
 synopsis:       An experimental proof assistant for synthetic ∞-categories
 description:    Please see the README on GitHub at <https://github.com/rzk-lang/rzk#readme>
 category:       Dependent Types
@@ -52,6 +52,7 @@
     test/typecheck/cases/happy-meta-prefix-option-off.rzk
     test/typecheck/cases/happy-meta-prefix-plumbing.rzk
     test/typecheck/cases/happy-modal-basics.rzk
+    test/typecheck/cases/happy-modal-extract-external-lock.rzk
     test/typecheck/cases/happy-modal-flat-recOR-under-op.rzk
     test/typecheck/cases/happy-modal-flat-under-op.rzk
     test/typecheck/cases/happy-modal-inv.rzk
@@ -60,6 +61,8 @@
     test/typecheck/cases/happy-modal-topes.rzk
     test/typecheck/cases/happy-multivar-binder.rzk
     test/typecheck/cases/happy-nbe-church-conversion.rzk
+    test/typecheck/cases/happy-nbe-transport-refl-spine.rzk
+    test/typecheck/cases/happy-nbe-wrapper-alignment.rzk
     test/typecheck/cases/happy-op-hom-to-hom.rzk
     test/typecheck/cases/happy-recbot-term-wellformed.rzk
     test/typecheck/cases/happy-recor-guard-exceeds-context.rzk
@@ -238,6 +241,7 @@
     test/typecheck/cases/happy-meta-prefix-option-off.expect.yaml
     test/typecheck/cases/happy-meta-prefix-plumbing.expect.yaml
     test/typecheck/cases/happy-modal-basics.expect.yaml
+    test/typecheck/cases/happy-modal-extract-external-lock.expect.yaml
     test/typecheck/cases/happy-modal-flat-recOR-under-op.expect.yaml
     test/typecheck/cases/happy-modal-flat-under-op.expect.yaml
     test/typecheck/cases/happy-modal-inv.expect.yaml
@@ -246,6 +250,8 @@
     test/typecheck/cases/happy-modal-topes.expect.yaml
     test/typecheck/cases/happy-multivar-binder.expect.yaml
     test/typecheck/cases/happy-nbe-church-conversion.expect.yaml
+    test/typecheck/cases/happy-nbe-transport-refl-spine.expect.yaml
+    test/typecheck/cases/happy-nbe-wrapper-alignment.expect.yaml
     test/typecheck/cases/happy-op-hom-to-hom.expect.yaml
     test/typecheck/cases/happy-recbot-term-wellformed.expect.yaml
     test/typecheck/cases/happy-recor-guard-exceeds-context.expect.yaml
@@ -437,6 +443,7 @@
       Rzk.TypeCheck.NbE
       Rzk.TypeCheck.Render
       Rzk.TypeCheck.Unify
+      Rzk.Version
   other-modules:
       Paths_rzk
   autogen-modules:
@@ -455,7 +462,8 @@
     , bytestring >=0.10.8.2 && <1
     , containers >=0.6 && <1
     , directory >=1.2.7.0 && <2
-    , free-foil >=0.3.2 && <0.4
+    , free-foil ==0.4.*
+    , gitrev >=1.3.1 && <2
     , kind-generics >=0.5 && <1
     , kind-generics-th >=0.2 && <1
     , mtl >=2.2.2 && <3
@@ -508,7 +516,8 @@
     , bytestring >=0.10.8.2 && <1
     , containers >=0.6 && <1
     , directory >=1.2.7.0 && <2
-    , free-foil >=0.3.2 && <0.4
+    , free-foil ==0.4.*
+    , gitrev >=1.3.1 && <2
     , kind-generics >=0.5 && <1
     , kind-generics-th >=0.2 && <1
     , mtl >=2.2.2 && <3
@@ -544,7 +553,8 @@
     , containers >=0.6 && <1
     , directory >=1.2.7.0 && <2
     , doctest-parallel >=0.3 && <1
-    , free-foil >=0.3.2 && <0.4
+    , free-foil ==0.4.*
+    , gitrev >=1.3.1 && <2
     , kind-generics >=0.5 && <1
     , kind-generics-th >=0.2 && <1
     , mtl >=2.2.2 && <3
@@ -571,6 +581,7 @@
       Rzk.RefIndexSpec
       Rzk.SemanticTokensSpec
       Rzk.TypeCheckSpec
+      Rzk.VersionSpec
       Paths_rzk
   autogen-modules:
       Paths_rzk
@@ -591,7 +602,8 @@
     , containers >=0.6 && <1
     , directory >=1.2.7.0 && <2
     , filepath >=1.4 && <2
-    , free-foil >=0.3.2 && <0.4
+    , free-foil ==0.4.*
+    , gitrev >=1.3.1 && <2
     , hspec >=2.7 && <3
     , hspec-discover >=2.7 && <3
     , kind-generics >=0.5 && <1
diff --git a/src/Language/Rzk/Foil/Convert.hs b/src/Language/Rzk/Foil/Convert.hs
--- a/src/Language/Rzk/Foil/Convert.hs
+++ b/src/Language/Rzk/Foil/Convert.hs
@@ -313,22 +313,26 @@
       Rzk.ModApp _loc md body -> ModApp (Free.toModality md) (go body)
       Rzk.ModType _loc md ty -> TypeModal (Free.toModality md) (go ty)
       Rzk.ModExtract{} -> error "$extract$ is an internal term and cannot appear in source"
-      Rzk.LetMod _loc comp (Rzk.BindPattern _ pat) val body ->
-        let (app, inn) = Free.modCompToMods comp
-         in LetMod (toBinder pat) app inn Nothing Nothing (go val)
-              (toScopedPattern scope pat env body)
-      Rzk.LetMod _loc comp (Rzk.BindPatternType _ pat ty) val body ->
-        let (app, inn) = Free.modCompToMods comp
-         in LetMod (toBinder pat) app inn (Just (go ty)) Nothing (go val)
-              (toScopedPattern scope pat env body)
-      Rzk.LetModInto _loc comp (Rzk.BindPattern _ pat) val motive body ->
-        let (app, inn) = Free.modCompToMods comp
-         in LetMod (toBinder pat) app inn Nothing (Just (go motive)) (go val)
-              (toScopedPattern scope pat env body)
-      Rzk.LetModInto _loc comp (Rzk.BindPatternType _ pat ty) val motive body ->
-        let (app, inn) = Free.modCompToMods comp
-         in LetMod (toBinder pat) app inn (Just (go ty)) (Just (go motive)) (go val)
-              (toScopedPattern scope pat env body)
+      Rzk.LetModBind _loc md bind val body ->
+        let m = Free.toModality md
+         in letMod bind Id m (ModApp m (go val)) Nothing body
+      Rzk.LetModBindInto _loc md bind val motive body ->
+        let m = Free.toModality md
+         in letMod bind Id m (ModApp m (go val)) (Just (go motive)) body
+      Rzk.LetMod _loc inn bind val body ->
+        letMod bind Id (Free.toModality inn) (go val) Nothing body
+      Rzk.LetModInto _loc inn bind val motive body ->
+        letMod bind Id (Free.toModality inn) (go val) (Just (go motive)) body
+      Rzk.LetModFramed _loc ext inn bind val body ->
+        letMod bind (Free.toModality ext) (Free.toModality inn) (go val) Nothing body
+      Rzk.LetModFramedInto _loc ext inn bind val motive body ->
+        letMod bind (Free.toModality ext) (Free.toModality inn) (go val) (Just (go motive)) body
+    letMod bind app inn value mmotive body =
+      case bind of
+        Rzk.BindPattern _ pat ->
+          LetMod (toBinder pat) app inn Nothing mmotive value (toScopedPattern scope pat env body)
+        Rzk.BindPatternType _ pat ty ->
+          LetMod (toBinder pat) app inn (Just (go ty)) mmotive value (toScopedPattern scope pat env body)
 
     restriction = \case
       Rzk.Restriction _loc tope term       -> (go tope, go term)
@@ -387,7 +391,7 @@
 
 -- | Sink an association list of binders by coercion, with no per-entry
 -- rebuild ('withOpenTerm' calls this at every binder it opens).
--- 'Foil.sinkContainer' cannot see through the pair (its element must be the
+-- 'Foil.sink1' cannot see through the pair (its element must be the
 -- sunk type itself), but the sinkability argument is the same: only the
 -- names mention the scope, and a name sinks by coercion.
 sinkBound :: Foil.DExt n l => [(VarIdent, Foil.Name n)] -> [(VarIdent, Foil.Name l)]
diff --git a/src/Language/Rzk/Foil/Names.hs b/src/Language/Rzk/Foil/Names.hs
--- a/src/Language/Rzk/Foil/Names.hs
+++ b/src/Language/Rzk/Foil/Names.hs
@@ -151,19 +151,11 @@
 toModality Rzk.ASCII_Op{}    = Op
 toModality Rzk.Id{}          = Id
 
-modCompToMods :: Rzk.ModComp -> (TModality, TModality)
-modCompToMods (Rzk.Single _ m)      = (Id, toModality m)
-modCompToMods (Rzk.Comp _ ext inn)  = (toModality ext, toModality inn)
-
 fromMod :: TModality -> Rzk.Modality
 fromMod Sharp = Rzk.Sharp Nothing
 fromMod Flat  = Rzk.Flat Nothing
 fromMod Op    = Rzk.Op Nothing
 fromMod Id    = Rzk.Id Nothing
-
-modsToModComp :: TModality -> TModality -> Rzk.ModComp
-modsToModComp Id inn  = Rzk.Single Nothing (fromMod inn)
-modsToModComp ext inn = Rzk.Comp Nothing (fromMod ext) (fromMod inn)
 
 
 -- | A tuple pattern is sugar for nested pairs.
diff --git a/src/Language/Rzk/Foil/Print.hs b/src/Language/Rzk/Foil/Print.hs
--- a/src/Language/Rzk/Foil/Print.hs
+++ b/src/Language/Rzk/Foil/Print.hs
@@ -36,7 +36,7 @@
                                            binderToPattern, defaultVarIdents,
                                            fromTModalityToModalColon,
                                            fromVarIdent, fromMod, holeIdentToken,
-                                           modsToModComp, patternToTerm,
+                                           patternToTerm,
                                            refreshVar)
 import qualified Language.Rzk.Syntax      as Rzk
 
@@ -214,9 +214,11 @@
       let bind = case mty of
             Nothing -> Rzk.BindPattern loc (binderToPattern z')
             Just ty -> Rzk.BindPatternType loc (binderToPattern z') (go ty)
-       in case mmotive of
-            Nothing     -> Rzk.LetMod loc (modsToModComp app inn) bind (go val) body'
-            Just motive -> Rzk.LetModInto loc (modsToModComp app inn) bind (go val) (go motive) body'
+       in case (app, mmotive) of
+            (Id, Nothing)     -> Rzk.LetMod loc (goMod inn) bind (go val) body'
+            (Id, Just motive) -> Rzk.LetModInto loc (goMod inn) bind (go val) (go motive) body'
+            (_, Nothing)      -> Rzk.LetModFramed loc (goMod app) (goMod inn) bind (go val) body'
+            (_, Just motive)  -> Rzk.LetModFramedInto loc (goMod app) (goMod inn) bind (go val) (go motive) body'
 
 -- | Peel a match branch's arm chain back into its binder patterns and body.
 --
diff --git a/src/Language/Rzk/Foil/Syntax.hs b/src/Language/Rzk/Foil/Syntax.hs
--- a/src/Language/Rzk/Foil/Syntax.hs
+++ b/src/Language/Rzk/Foil/Syntax.hs
@@ -316,9 +316,10 @@
 
 -- | The free variables of a term.
 --
--- free-foil has @freeVarsOf@ only on its unreleased @main@, so this is written
--- here. A name bound on the way down is dropped from the result, which is what
--- makes the coercion back to the outer scope right.
+-- free-foil 0.4.0 exports @freeVarsOf@, but it deduplicates and sorts; this one
+-- keeps mention order and repeats, as the old representation's did. A name
+-- bound on the way down is dropped from the result, which is what makes the
+-- coercion back to the outer scope right.
 freeVarsOfTerm :: Term n -> [Foil.Name n]
 freeVarsOfTerm (Var x)    = [x]
 freeVarsOfTerm (UntypedNode sig) = bifoldMap freeVarsOfScoped freeVarsOfTerm sig
@@ -354,8 +355,8 @@
 isHoleT HoleT{} = True
 isHoleT _       = False
 
--- | Is the term a /flexible/ spine: a hole, or an application headed by one
--- (@? a b@)?
+-- | Is the term a /flexible/ spine: a hole, or an elimination headed by one
+-- (@? a b@, @first ?@, @second (? a)@)?
 --
 -- Such a term is not yet committed to any shape: filling the head hole can turn
 -- it into anything. A type of this form therefore stands for an arbitrary type,
@@ -363,10 +364,19 @@
 -- (@ind-path A a C d x p : C x p@) be judged against a concrete goal. Contrast
 -- 'containsHole', which is also true of a term whose /shape/ is already fixed
 -- and only has holes among its parts (@? = ?@ is an identity type either way).
+--
+-- A projection counts for the same reason an application does. @first ?@ is
+-- whatever the first component of the pair turns out to be, so it has no shape
+-- of its own to mismatch with. Without this, a lemma stating a property of
+-- projections (@first-path-Σ ... : first s = first t@) is not offered against a
+-- goal whose endpoint is a plain variable, because solving @first ?t@ against it
+-- would mean inventing the pair.
 isHoleHeadedT :: TermT n -> Bool
-isHoleHeadedT HoleT{}     = True
-isHoleHeadedT (AppT _ f _) = isHoleHeadedT f
-isHoleHeadedT _           = False
+isHoleHeadedT HoleT{}       = True
+isHoleHeadedT (AppT _ f _)  = isHoleHeadedT f
+isHoleHeadedT (FirstT _ t)  = isHoleHeadedT t
+isHoleHeadedT (SecondT _ t) = isHoleHeadedT t
+isHoleHeadedT _             = False
 
 -- | The name of every hole in a term.
 holeNamesOf :: Term n -> [Maybe VarIdent]
diff --git a/src/Language/Rzk/Syntax/Abs.hs b/src/Language/Rzk/Syntax/Abs.hs
--- a/src/Language/Rzk/Syntax/Abs.hs
+++ b/src/Language/Rzk/Syntax/Abs.hs
@@ -215,8 +215,12 @@
     | ModApp a (Modality' a) (Term' a)
     | ModType a (Modality' a) (Term' a)
     | ModExtract a (ModComp' a) (Term' a)
-    | LetMod a (ModComp' a) (Bind' a) (Term' a) (Term' a)
-    | LetModInto a (ModComp' a) (Bind' a) (Term' a) (Term' a) (Term' a)
+    | LetModBind a (Modality' a) (Bind' a) (Term' a) (Term' a)
+    | LetMod a (Modality' a) (Bind' a) (Term' a) (Term' a)
+    | LetModFramed a (Modality' a) (Modality' a) (Bind' a) (Term' a) (Term' a)
+    | LetModBindInto a (Modality' a) (Bind' a) (Term' a) (Term' a) (Term' a)
+    | LetModInto a (Modality' a) (Bind' a) (Term' a) (Term' a) (Term' a)
+    | LetModFramedInto a (Modality' a) (Modality' a) (Bind' a) (Term' a) (Term' a) (Term' a)
     | First a (Term' a)
     | Second a (Term' a)
     | Unit a
@@ -515,8 +519,12 @@
     ModApp p _ _ -> p
     ModType p _ _ -> p
     ModExtract p _ _ -> p
+    LetModBind p _ _ _ _ -> p
     LetMod p _ _ _ _ -> p
+    LetModFramed p _ _ _ _ _ -> p
+    LetModBindInto p _ _ _ _ _ -> p
     LetModInto p _ _ _ _ _ -> p
+    LetModFramedInto p _ _ _ _ _ _ -> p
     First p _ -> p
     Second p _ -> p
     Unit p -> p
diff --git a/src/Language/Rzk/Syntax/Par.hs b/src/Language/Rzk/Syntax/Par.hs
--- a/src/Language/Rzk/Syntax/Par.hs
+++ b/src/Language/Rzk/Syntax/Par.hs
@@ -423,21 +423,21 @@
 happyTokenStrings = ["'#assume'","'#check'","'#compute'","'#compute-nf'","'#compute-whnf'","'#data'","'#def'","'#define'","'#end'","'#lang'","'#postulate'","'#section'","'#set-option'","'#unset-option'","'#variable'","'#variables'","'$extract$'","'('","')'","'*'","'*_1'","'*\8321'","','","'->'","'/'","'/\\\\'","'0_2'","'0_I'","'0\7522'","'0\8322'","'1'","'1_2'","'1_I'","'1\7522'","'1\8322'","'2'","':'","':='","':_#'","':_b'","':_id'","':_op'","':\7506\7510'","':\9837'","':\9839'","';'","'<='","'='","'==='","'=>'","'=_{'","'BOT'","'CUBE'","'II'","'Sigma'","'TOP'","'TOPE'","'U'","'Unit'","'['","'\\\\'","'\\\\/'","']'","'_#'","'_b'","'_id'","'_op'","'as'","'compute'","'eliminate'","'first'","'flip_op'","'flip\7506\7510'","'idJ'","'in'","'inf'","'into'","'inv_op'","'inv\7506\7510'","'let'","'match'","'mod'","'recBOT'","'recOR'","'refl'","'refl_{'","'rzk-1'","'second'","'sup'","'unflip_op'","'unflip\7506\7510'","'uninv_op'","'uninv\7506\7510'","'unit'","'uses'","'with'","'|'","'|->'","'}'","'\215'","'\931'","'\960\8321'","'\960\8322'","'\7506\7510'","'\8594'","'\8614'","'\8658'","'\8721'","'\8743'","'\8744'","'\8801'","'\8804'","'\8851'","'\8852'","'\8868'","'\8869'","'\9837'","'\9839'","'\120128'","L_quoted","L_VarIdentToken","L_HoleIdentToken","%eof"]
 
 happyActOffsets :: HappyAddr
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 happyCatchStates = []
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+        case happyOut81 happy_x_2 of { (HappyWrap81 happy_var_2) -> 
+        case happyOut75 happy_x_3 of { (HappyWrap75 happy_var_3) -> 
+        case happyOut91 happy_x_5 of { (HappyWrap91 happy_var_5) -> 
+        case happyOut91 happy_x_7 of { (HappyWrap91 happy_var_7) -> 
+        happyIn90
+                 ((uncurry Language.Rzk.Syntax.Abs.BNFC'Position (tokenLineCol happy_var_1), Language.Rzk.Syntax.Abs.LetModBind (uncurry Language.Rzk.Syntax.Abs.BNFC'Position (tokenLineCol happy_var_1)) (snd happy_var_2) (snd happy_var_3) (snd happy_var_5) (snd happy_var_7))
+        ) `HappyStk` happyRest}}}}}
+
+happyReduce_226 = happyReduce 8# 43# happyReduction_226
+happyReduction_226 (happy_x_8 `HappyStk`
         happy_x_7 `HappyStk`
         happy_x_6 `HappyStk`
         happy_x_5 `HappyStk`
@@ -2455,7 +2477,7 @@
         happy_x_1 `HappyStk`
         happyRest)
          = case happyOutTok happy_x_1 of { happy_var_1 -> 
-        case happyOut82 happy_x_3 of { (HappyWrap82 happy_var_3) -> 
+        case happyOut81 happy_x_3 of { (HappyWrap81 happy_var_3) -> 
         case happyOut75 happy_x_4 of { (HappyWrap75 happy_var_4) -> 
         case happyOut91 happy_x_6 of { (HappyWrap91 happy_var_6) -> 
         case happyOut91 happy_x_8 of { (HappyWrap91 happy_var_8) -> 
@@ -2463,8 +2485,50 @@
                  ((uncurry Language.Rzk.Syntax.Abs.BNFC'Position (tokenLineCol happy_var_1), Language.Rzk.Syntax.Abs.LetMod (uncurry Language.Rzk.Syntax.Abs.BNFC'Position (tokenLineCol happy_var_1)) (snd happy_var_3) (snd happy_var_4) (snd happy_var_6) (snd happy_var_8))
         ) `HappyStk` happyRest}}}}}
 
-happyReduce_226 = happyReduce 10# 43# happyReduction_226
-happyReduction_226 (happy_x_10 `HappyStk`
+happyReduce_227 = happyReduce 9# 43# happyReduction_227
+happyReduction_227 (happy_x_9 `HappyStk`
+        happy_x_8 `HappyStk`
+        happy_x_7 `HappyStk`
+        happy_x_6 `HappyStk`
+        happy_x_5 `HappyStk`
+        happy_x_4 `HappyStk`
+        happy_x_3 `HappyStk`
+        happy_x_2 `HappyStk`
+        happy_x_1 `HappyStk`
+        happyRest)
+         = case happyOutTok happy_x_1 of { happy_var_1 -> 
+        case happyOut81 happy_x_2 of { (HappyWrap81 happy_var_2) -> 
+        case happyOut81 happy_x_4 of { (HappyWrap81 happy_var_4) -> 
+        case happyOut75 happy_x_5 of { (HappyWrap75 happy_var_5) -> 
+        case happyOut91 happy_x_7 of { (HappyWrap91 happy_var_7) -> 
+        case happyOut91 happy_x_9 of { (HappyWrap91 happy_var_9) -> 
+        happyIn90
+                 ((uncurry Language.Rzk.Syntax.Abs.BNFC'Position (tokenLineCol happy_var_1), Language.Rzk.Syntax.Abs.LetModFramed (uncurry Language.Rzk.Syntax.Abs.BNFC'Position (tokenLineCol happy_var_1)) (snd happy_var_2) (snd happy_var_4) (snd happy_var_5) (snd happy_var_7) (snd happy_var_9))
+        ) `HappyStk` happyRest}}}}}}
+
+happyReduce_228 = happyReduce 9# 43# happyReduction_228
+happyReduction_228 (happy_x_9 `HappyStk`
+        happy_x_8 `HappyStk`
+        happy_x_7 `HappyStk`
+        happy_x_6 `HappyStk`
+        happy_x_5 `HappyStk`
+        happy_x_4 `HappyStk`
+        happy_x_3 `HappyStk`
+        happy_x_2 `HappyStk`
+        happy_x_1 `HappyStk`
+        happyRest)
+         = case happyOutTok happy_x_1 of { happy_var_1 -> 
+        case happyOut81 happy_x_2 of { (HappyWrap81 happy_var_2) -> 
+        case happyOut75 happy_x_3 of { (HappyWrap75 happy_var_3) -> 
+        case happyOut91 happy_x_5 of { (HappyWrap91 happy_var_5) -> 
+        case happyOut91 happy_x_7 of { (HappyWrap91 happy_var_7) -> 
+        case happyOut91 happy_x_9 of { (HappyWrap91 happy_var_9) -> 
+        happyIn90
+                 ((uncurry Language.Rzk.Syntax.Abs.BNFC'Position (tokenLineCol happy_var_1), Language.Rzk.Syntax.Abs.LetModBindInto (uncurry Language.Rzk.Syntax.Abs.BNFC'Position (tokenLineCol happy_var_1)) (snd happy_var_2) (snd happy_var_3) (snd happy_var_5) (snd happy_var_7) (snd happy_var_9))
+        ) `HappyStk` happyRest}}}}}}
+
+happyReduce_229 = happyReduce 10# 43# happyReduction_229
+happyReduction_229 (happy_x_10 `HappyStk`
         happy_x_9 `HappyStk`
         happy_x_8 `HappyStk`
         happy_x_7 `HappyStk`
@@ -2476,7 +2540,7 @@
         happy_x_1 `HappyStk`
         happyRest)
          = case happyOutTok happy_x_1 of { happy_var_1 -> 
-        case happyOut82 happy_x_3 of { (HappyWrap82 happy_var_3) -> 
+        case happyOut81 happy_x_3 of { (HappyWrap81 happy_var_3) -> 
         case happyOut75 happy_x_4 of { (HappyWrap75 happy_var_4) -> 
         case happyOut91 happy_x_6 of { (HappyWrap91 happy_var_6) -> 
         case happyOut91 happy_x_8 of { (HappyWrap91 happy_var_8) -> 
@@ -2485,15 +2549,39 @@
                  ((uncurry Language.Rzk.Syntax.Abs.BNFC'Position (tokenLineCol happy_var_1), Language.Rzk.Syntax.Abs.LetModInto (uncurry Language.Rzk.Syntax.Abs.BNFC'Position (tokenLineCol happy_var_1)) (snd happy_var_3) (snd happy_var_4) (snd happy_var_6) (snd happy_var_8) (snd happy_var_10))
         ) `HappyStk` happyRest}}}}}}
 
-happyReduce_227 = happySpecReduce_1  43# happyReduction_227
-happyReduction_227 happy_x_1
+happyReduce_230 = happyReduce 11# 43# happyReduction_230
+happyReduction_230 (happy_x_11 `HappyStk`
+        happy_x_10 `HappyStk`
+        happy_x_9 `HappyStk`
+        happy_x_8 `HappyStk`
+        happy_x_7 `HappyStk`
+        happy_x_6 `HappyStk`
+        happy_x_5 `HappyStk`
+        happy_x_4 `HappyStk`
+        happy_x_3 `HappyStk`
+        happy_x_2 `HappyStk`
+        happy_x_1 `HappyStk`
+        happyRest)
+         = case happyOutTok happy_x_1 of { happy_var_1 -> 
+        case happyOut81 happy_x_2 of { (HappyWrap81 happy_var_2) -> 
+        case happyOut81 happy_x_4 of { (HappyWrap81 happy_var_4) -> 
+        case happyOut75 happy_x_5 of { (HappyWrap75 happy_var_5) -> 
+        case happyOut91 happy_x_7 of { (HappyWrap91 happy_var_7) -> 
+        case happyOut91 happy_x_9 of { (HappyWrap91 happy_var_9) -> 
+        case happyOut91 happy_x_11 of { (HappyWrap91 happy_var_11) -> 
+        happyIn90
+                 ((uncurry Language.Rzk.Syntax.Abs.BNFC'Position (tokenLineCol happy_var_1), Language.Rzk.Syntax.Abs.LetModFramedInto (uncurry Language.Rzk.Syntax.Abs.BNFC'Position (tokenLineCol happy_var_1)) (snd happy_var_2) (snd happy_var_4) (snd happy_var_5) (snd happy_var_7) (snd happy_var_9) (snd happy_var_11))
+        ) `HappyStk` happyRest}}}}}}}
+
+happyReduce_231 = happySpecReduce_1  43# happyReduction_231
+happyReduction_231 happy_x_1
          =  case happyOut88 happy_x_1 of { (HappyWrap88 happy_var_1) -> 
         happyIn90
                  ((fst happy_var_1, (snd happy_var_1))
         )}
 
-happyReduce_228 = happySpecReduce_3  43# happyReduction_228
-happyReduction_228 happy_x_3
+happyReduce_232 = happySpecReduce_3  43# happyReduction_232
+happyReduction_232 happy_x_3
         happy_x_2
         happy_x_1
          =  case happyOut76 happy_x_1 of { (HappyWrap76 happy_var_1) -> 
@@ -2502,8 +2590,8 @@
                  ((fst happy_var_1, Language.Rzk.Syntax.Abs.ASCII_TypeFun (fst happy_var_1) (snd happy_var_1) (snd happy_var_3))
         )}}
 
-happyReduce_229 = happyReduce 8# 43# happyReduction_229
-happyReduction_229 (happy_x_8 `HappyStk`
+happyReduce_233 = happyReduce 8# 43# happyReduction_233
+happyReduction_233 (happy_x_8 `HappyStk`
         happy_x_7 `HappyStk`
         happy_x_6 `HappyStk`
         happy_x_5 `HappyStk`
@@ -2520,8 +2608,8 @@
                  ((uncurry Language.Rzk.Syntax.Abs.BNFC'Position (tokenLineCol happy_var_1), Language.Rzk.Syntax.Abs.ASCII_TypeSigma (uncurry Language.Rzk.Syntax.Abs.BNFC'Position (tokenLineCol happy_var_1)) (snd happy_var_3) (snd happy_var_5) (snd happy_var_8))
         ) `HappyStk` happyRest}}}}
 
-happyReduce_230 = happyReduce 8# 43# happyReduction_230
-happyReduction_230 (happy_x_8 `HappyStk`
+happyReduce_234 = happyReduce 8# 43# happyReduction_234
+happyReduction_234 (happy_x_8 `HappyStk`
         happy_x_7 `HappyStk`
         happy_x_6 `HappyStk`
         happy_x_5 `HappyStk`
@@ -2539,8 +2627,8 @@
                  ((uncurry Language.Rzk.Syntax.Abs.BNFC'Position (tokenLineCol happy_var_1), Language.Rzk.Syntax.Abs.ascii_TypeSigmaModal (uncurry Language.Rzk.Syntax.Abs.BNFC'Position (tokenLineCol happy_var_1)) (snd happy_var_3) (snd happy_var_4) (snd happy_var_5) (snd happy_var_8))
         ) `HappyStk` happyRest}}}}}
 
-happyReduce_231 = happyReduce 8# 43# happyReduction_231
-happyReduction_231 (happy_x_8 `HappyStk`
+happyReduce_235 = happyReduce 8# 43# happyReduction_235
+happyReduction_235 (happy_x_8 `HappyStk`
         happy_x_7 `HappyStk`
         happy_x_6 `HappyStk`
         happy_x_5 `HappyStk`
@@ -2557,8 +2645,8 @@
                  ((uncurry Language.Rzk.Syntax.Abs.BNFC'Position (tokenLineCol happy_var_1), Language.Rzk.Syntax.Abs.ASCII_TypeSigmaTuple (uncurry Language.Rzk.Syntax.Abs.BNFC'Position (tokenLineCol happy_var_1)) (snd happy_var_3) (snd happy_var_5) (snd happy_var_8))
         ) `HappyStk` happyRest}}}}
 
-happyReduce_232 = happyReduce 4# 43# happyReduction_232
-happyReduction_232 (happy_x_4 `HappyStk`
+happyReduce_236 = happyReduce 4# 43# happyReduction_236
+happyReduction_236 (happy_x_4 `HappyStk`
         happy_x_3 `HappyStk`
         happy_x_2 `HappyStk`
         happy_x_1 `HappyStk`
@@ -2570,8 +2658,8 @@
                  ((uncurry Language.Rzk.Syntax.Abs.BNFC'Position (tokenLineCol happy_var_1), Language.Rzk.Syntax.Abs.ASCII_Lambda (uncurry Language.Rzk.Syntax.Abs.BNFC'Position (tokenLineCol happy_var_1)) (snd happy_var_2) (snd happy_var_4))
         ) `HappyStk` happyRest}}}
 
-happyReduce_233 = happyReduce 8# 43# happyReduction_233
-happyReduction_233 (happy_x_8 `HappyStk`
+happyReduce_237 = happyReduce 8# 43# happyReduction_237
+happyReduction_237 (happy_x_8 `HappyStk`
         happy_x_7 `HappyStk`
         happy_x_6 `HappyStk`
         happy_x_5 `HappyStk`
@@ -2588,8 +2676,8 @@
                  ((uncurry Language.Rzk.Syntax.Abs.BNFC'Position (tokenLineCol happy_var_1), Language.Rzk.Syntax.Abs.unicode_TypeSigmaAlt (uncurry Language.Rzk.Syntax.Abs.BNFC'Position (tokenLineCol happy_var_1)) (snd happy_var_3) (snd happy_var_5) (snd happy_var_8))
         ) `HappyStk` happyRest}}}}
 
-happyReduce_234 = happyReduce 8# 43# happyReduction_234
-happyReduction_234 (happy_x_8 `HappyStk`
+happyReduce_238 = happyReduce 8# 43# happyReduction_238
+happyReduction_238 (happy_x_8 `HappyStk`
         happy_x_7 `HappyStk`
         happy_x_6 `HappyStk`
         happy_x_5 `HappyStk`
@@ -2606,8 +2694,8 @@
                  ((uncurry Language.Rzk.Syntax.Abs.BNFC'Position (tokenLineCol happy_var_1), Language.Rzk.Syntax.Abs.unicode_TypeSigmaTupleAlt (uncurry Language.Rzk.Syntax.Abs.BNFC'Position (tokenLineCol happy_var_1)) (snd happy_var_3) (snd happy_var_5) (snd happy_var_8))
         ) `HappyStk` happyRest}}}}
 
-happyReduce_235 = happySpecReduce_3  44# happyReduction_235
-happyReduction_235 happy_x_3
+happyReduce_239 = happySpecReduce_3  44# happyReduction_239
+happyReduction_239 happy_x_3
         happy_x_2
         happy_x_1
          =  case happyOut88 happy_x_1 of { (HappyWrap88 happy_var_1) -> 
@@ -2616,22 +2704,22 @@
                  ((fst happy_var_1, Language.Rzk.Syntax.Abs.TypeAsc (fst happy_var_1) (snd happy_var_1) (snd happy_var_3))
         )}}
 
-happyReduce_236 = happySpecReduce_1  44# happyReduction_236
-happyReduction_236 happy_x_1
+happyReduce_240 = happySpecReduce_1  44# happyReduction_240
+happyReduction_240 happy_x_1
          =  case happyOut90 happy_x_1 of { (HappyWrap90 happy_var_1) -> 
         happyIn91
                  ((fst happy_var_1, (snd happy_var_1))
         )}
 
-happyReduce_237 = happySpecReduce_1  45# happyReduction_237
-happyReduction_237 happy_x_1
+happyReduce_241 = happySpecReduce_1  45# happyReduction_241
+happyReduction_241 happy_x_1
          =  case happyOut91 happy_x_1 of { (HappyWrap91 happy_var_1) -> 
         happyIn92
                  ((fst happy_var_1, (:[]) (snd happy_var_1))
         )}
 
-happyReduce_238 = happySpecReduce_3  45# happyReduction_238
-happyReduction_238 happy_x_3
+happyReduce_242 = happySpecReduce_3  45# happyReduction_242
+happyReduction_242 happy_x_3
         happy_x_2
         happy_x_1
          =  case happyOut91 happy_x_1 of { (HappyWrap91 happy_var_1) -> 
diff --git a/src/Language/Rzk/Syntax/Print.hs b/src/Language/Rzk/Syntax/Print.hs
--- a/src/Language/Rzk/Syntax/Print.hs
+++ b/src/Language/Rzk/Syntax/Print.hs
@@ -363,8 +363,12 @@
     Language.Rzk.Syntax.Abs.ModApp _ modality term -> prPrec i 7 (concatD [doc (showString "mod"), prt 0 modality, prt 7 term])
     Language.Rzk.Syntax.Abs.ModType _ modality term -> prPrec i 7 (concatD [prt 0 modality, prt 7 term])
     Language.Rzk.Syntax.Abs.ModExtract _ modcomp term -> prPrec i 6 (concatD [doc (showString "$extract$"), prt 0 modcomp, prt 7 term])
-    Language.Rzk.Syntax.Abs.LetMod _ modcomp bind term1 term2 -> prPrec i 1 (concatD [doc (showString "let"), doc (showString "mod"), prt 0 modcomp, prt 0 bind, doc (showString ":="), prt 0 term1, doc (showString "in"), prt 0 term2])
-    Language.Rzk.Syntax.Abs.LetModInto _ modcomp bind term1 term2 term3 -> prPrec i 1 (concatD [doc (showString "let"), doc (showString "mod"), prt 0 modcomp, prt 0 bind, doc (showString ":="), prt 0 term1, doc (showString "into"), prt 0 term2, doc (showString "in"), prt 0 term3])
+    Language.Rzk.Syntax.Abs.LetModBind _ modality bind term1 term2 -> prPrec i 1 (concatD [doc (showString "let"), prt 0 modality, prt 0 bind, doc (showString ":="), prt 0 term1, doc (showString "in"), prt 0 term2])
+    Language.Rzk.Syntax.Abs.LetMod _ modality bind term1 term2 -> prPrec i 1 (concatD [doc (showString "let"), doc (showString "mod"), prt 0 modality, prt 0 bind, doc (showString ":="), prt 0 term1, doc (showString "in"), prt 0 term2])
+    Language.Rzk.Syntax.Abs.LetModFramed _ modality1 modality2 bind term1 term2 -> prPrec i 1 (concatD [doc (showString "let"), prt 0 modality1, doc (showString "mod"), prt 0 modality2, prt 0 bind, doc (showString ":="), prt 0 term1, doc (showString "in"), prt 0 term2])
+    Language.Rzk.Syntax.Abs.LetModBindInto _ modality bind term1 term2 term3 -> prPrec i 1 (concatD [doc (showString "let"), prt 0 modality, prt 0 bind, doc (showString ":="), prt 0 term1, doc (showString "into"), prt 0 term2, doc (showString "in"), prt 0 term3])
+    Language.Rzk.Syntax.Abs.LetModInto _ modality bind term1 term2 term3 -> prPrec i 1 (concatD [doc (showString "let"), doc (showString "mod"), prt 0 modality, prt 0 bind, doc (showString ":="), prt 0 term1, doc (showString "into"), prt 0 term2, doc (showString "in"), prt 0 term3])
+    Language.Rzk.Syntax.Abs.LetModFramedInto _ modality1 modality2 bind term1 term2 term3 -> prPrec i 1 (concatD [doc (showString "let"), prt 0 modality1, doc (showString "mod"), prt 0 modality2, prt 0 bind, doc (showString ":="), prt 0 term1, doc (showString "into"), prt 0 term2, doc (showString "in"), prt 0 term3])
     Language.Rzk.Syntax.Abs.First _ term -> prPrec i 6 (concatD [doc (showString "\960\8321"), prt 7 term])
     Language.Rzk.Syntax.Abs.Second _ term -> prPrec i 6 (concatD [doc (showString "\960\8322"), prt 7 term])
     Language.Rzk.Syntax.Abs.Unit _ -> prPrec i 7 (concatD [doc (showString "unit")])
diff --git a/src/Language/Rzk/VSCode/ReferenceIndex.hs b/src/Language/Rzk/VSCode/ReferenceIndex.hs
--- a/src/Language/Rzk/VSCode/ReferenceIndex.hs
+++ b/src/Language/Rzk/VSCode/ReferenceIndex.hs
@@ -404,8 +404,12 @@
   Rzk.Lambda _ ps body                      -> paramScope file env ps body
   Rzk.ASCII_Lambda _ ps body                -> paramScope file env ps body
   Rzk.Let _ bind val body                   -> letScope file env bind val body
-  Rzk.LetMod _ _ bind val body              -> letScope file env bind val body
-  Rzk.LetModInto _ _ bind val motive body   -> goTerm file env motive ++ letScope file env bind val body
+  Rzk.LetModBind _ _ bind val body              -> letScope file env bind val body
+  Rzk.LetMod _ _ bind val body           -> letScope file env bind val body
+  Rzk.LetModFramed _ _ _ bind val body        -> letScope file env bind val body
+  Rzk.LetModBindInto _ _ bind val motive body   -> goTerm file env motive ++ letScope file env bind val body
+  Rzk.LetModInto _ _ bind val motive body -> goTerm file env motive ++ letScope file env bind val body
+  Rzk.LetModFramedInto _ _ _ bind val motive body -> goTerm file env motive ++ letScope file env bind val body
   Rzk.TypeSigma _ pat ty ret                -> sigmaScope file env pat ty ret
   Rzk.ASCII_TypeSigma _ pat ty ret          -> sigmaScope file env pat ty ret
   Rzk.TypeSigmaModal _ pat _ ty ret         -> sigmaScope file env pat ty ret
diff --git a/src/Language/Rzk/VSCode/Tokenize.hs b/src/Language/Rzk/VSCode/Tokenize.hs
--- a/src/Language/Rzk/VSCode/Tokenize.hs
+++ b/src/Language/Rzk/VSCode/Tokenize.hs
@@ -266,8 +266,12 @@
         [ foldMap tokenizeParam params
         , go body ]
       Let _loc bind val expr -> concat [tokenizeBind bind, go val, go expr]
-      LetMod _loc comp bind val expr -> concat [tokenizeModComp comp, tokenizeBind bind, go val, go expr]
-      LetModInto _loc comp bind val motive expr -> concat [tokenizeModComp comp, tokenizeBind bind, go val, go motive, go expr]
+      LetModBind _loc md bind val expr -> concat [tokenizeModality md, tokenizeBind bind, go val, go expr]
+      LetMod _loc inn bind val expr -> concat [tokenizeModality inn, tokenizeBind bind, go val, go expr]
+      LetModFramed _loc ext inn bind val expr -> concat [tokenizeModality ext, tokenizeModality inn, tokenizeBind bind, go val, go expr]
+      LetModBindInto _loc md bind val motive expr -> concat [tokenizeModality md, tokenizeBind bind, go val, go motive, go expr]
+      LetModInto _loc inn bind val motive expr -> concat [tokenizeModality inn, tokenizeBind bind, go val, go motive, go expr]
+      LetModFramedInto _loc ext inn bind val motive expr -> concat [tokenizeModality ext, tokenizeModality inn, tokenizeBind bind, go val, go motive, go expr]
       ASCII_Lambda loc params body -> go (Lambda loc params body)
 
       Pair _loc l r -> foldMap go [l, r]
diff --git a/src/Rzk/TypeCheck/Context.hs b/src/Rzk/TypeCheck/Context.hs
--- a/src/Rzk/TypeCheck/Context.hs
+++ b/src/Rzk/TypeCheck/Context.hs
@@ -419,16 +419,16 @@
     tope { tTope = Foil.sinkabilityProof rename (tTope tope) }
 
 sinkVars :: DExt n l => NameMap n (VarInfo n) -> NameMap n (VarInfo l)
-sinkVars = Foil.sinkContainer
+sinkVars = Foil.sink1
 
 sinkTopes :: DExt n l => [ModalTope n] -> [ModalTope l]
-sinkTopes = Foil.sinkContainer
+sinkTopes = Foil.sink1
 
 sinkNamed :: DExt n l => Map VarIdent (Foil.Name n) -> Map VarIdent (Foil.Name l)
-sinkNamed = Foil.sinkContainer
+sinkNamed = Foil.sink1
 
 sinkNames :: DExt n l => [Foil.Name n] -> [Foil.Name l]
-sinkNames = Foil.sinkContainer
+sinkNames = Foil.sink1
 
 -- * Lookup
 
diff --git a/src/Rzk/TypeCheck/Decl.hs b/src/Rzk/TypeCheck/Decl.hs
--- a/src/Rzk/TypeCheck/Decl.hs
+++ b/src/Rzk/TypeCheck/Decl.hs
@@ -86,9 +86,9 @@
 
 -- | Sinking a whole list is a coercion too, with no per-element rebuild.
 sinkDecls :: DExt n l => [Decl n] -> [Decl l]
-sinkDecls = Foil.sinkContainer
+sinkDecls = Foil.sink1
 
--- | The per-file groups also sink by coercion. 'Foil.sinkContainer' cannot
+-- | The per-file groups also sink by coercion. 'Foil.sink1' cannot
 -- see through the pair (its element must be the sunk type itself), but the
 -- sinkability argument is the same: only the declarations mention the scope.
 sinkDeclGroups :: DExt n l => [(FilePath, [Decl n])] -> [(FilePath, [Decl l])]
@@ -147,9 +147,9 @@
           { declName = name
           , declNameOf = Foil.nameOf binder
           , declType = Foil.sink ty
-          , declValue = Foil.sinkContainer mval
+          , declValue = Foil.sink1 mval
           , declIsAssumption = isAssumption
-          , declUsedVars = Foil.sinkContainer usedVars
+          , declUsedVars = Foil.sink1 usedVars
           , declLocation = ctxLocation ctx
           }
     inContext ctx' (k binder decl)
@@ -695,7 +695,7 @@
   dDeps <- assumptionDepsOf dTy
   withTopLevel (varIdentAt path name) dTy Nothing False
     (nubNames (used <> dDeps)) Nothing $ \dBinder dDecl ->
-      bindCons (Foil.nameOf dBinder) (Foil.sinkContainer used) 0 consData [sinkDecl dDecl] $
+      bindCons (Foil.nameOf dBinder) (Foil.sink1 used) 0 consData [sinkDecl dDecl] $
         \dName usedL declsAcc -> bindElims dName usedL declsAcc
   where
     numParams  = length paramDecls
@@ -750,7 +750,7 @@
               (map fst (dataConRecursive con)))
       withTopLevel (varIdentAt path (dataConName con)) conTy Nothing False
         (nubNames (usedHere <> conDeps)) (Just role) $ \_conBinder conDecl ->
-          bindCons (Foil.sink dName) (Foil.sinkContainer usedHere) (index + 1) rest
+          bindCons (Foil.sink dName) (Foil.sink1 usedHere) (index + 1) rest
             (sinkDecls acc <> [conDecl]) kk
 
     bindElims
@@ -885,12 +885,12 @@
           recCanonical <- memoizeWHNF =<< typecheck recTyT universeT
           recTy' <- reascribe recName recCanonical mrecTy
           recDeps <- assumptionDepsOf recTy'
-          let usedAtInd = Foil.sinkContainer usedHere
+          let usedAtInd = Foil.sink1 usedHere
           withTopLevel (varIdentAt path recName) recTy' Nothing False
             (nubNames (usedAtInd <> recDeps))
             (Just (DataRole (Foil.sink dName) numParams (DataElimKind numMethods indexArity ElimRec))) $ \_ recDecl ->
               bindComputes
-                (Foil.sinkContainer usedAtInd)
+                (Foil.sink1 usedAtInd)
                 computeReasc
                 (computeRules et)
                 (sinkDecls (sinkDecls declsAcc <> [indDecl]) <> [recDecl])
@@ -912,7 +912,7 @@
       deps <- assumptionDepsOf ty'
       withTopLevel (varIdentAt path cname) ty' Nothing False
         (nubNames (usedHere <> deps)) Nothing $ \_ decl ->
-          bindComputes (Foil.sinkContainer usedHere) reasc rest
+          bindComputes (Foil.sink1 usedHere) reasc rest
             (sinkDecls acc <> [decl])
 
     -- | Split the re-ascription clauses among the generated entries: the
diff --git a/src/Rzk/TypeCheck/Eval.hs b/src/Rzk/TypeCheck/Eval.hs
--- a/src/Rzk/TypeCheck/Eval.hs
+++ b/src/Rzk/TypeCheck/Eval.hs
@@ -125,16 +125,22 @@
 -- @2@ (or of @I@) is one of the endpoints. Maintained at binder entry so that
 -- entailment does not have to rescan the context on every query.
 discreteAxiomOf
-  :: forall n l. Distinct n
-  => TModality -> TermT n -> NameBinder n l -> TypeCheck n [ModalTope l]
-discreteAxiomOf Flat ty binder = whnfT ty >>= \case
-    Cube2T{} -> pure [endpoints cube2_0T cube2_1T]
-    CubeIT{} -> pure [endpoints cubeI_0T cubeI_1T]
+  :: forall n l. (Distinct n, DExt n l)
+  => TModality -> TermT n -> Maybe (TermT n) -> NameBinder n l
+  -> TypeCheck n [ModalTope l]
+discreteAxiomOf Flat ty mval binder = whnfT ty >>= \case
+    Cube2T{} -> endpoints cube2_0T cube2_1T
+    CubeIT{} -> endpoints cubeI_0T cubeI_1T
     _        -> pure []
   where
-    z = Var (Foil.nameOf binder) :: TermT l
-    endpoints zero one = plainTope (topeOrT (topeEQT z zero) (topeEQT z one))
-discreteAxiomOf _ _ _ = pure []
+    point :: TypeCheck n (TermT l)
+    point = case mval of
+      Nothing -> pure (Var (Foil.nameOf binder))
+      Just v  -> Foil.sink <$> nfTope v
+    endpoints zero one = do
+      z <- point
+      pure [plainTope (topeOrT (topeEQT z zero) (topeEQT z one))]
+discreteAxiomOf _ _ _ _ = pure []
 
 -- | What a binder adds to the context.
 binderInfo
@@ -161,7 +167,7 @@
   -> TypeCheck l a -> TypeCheck n a
 underBinder binder orig md ty mval action = do
   ctx <- ask
-  discrete <- discreteAxiomOf md ty binder
+  discrete <- discreteAxiomOf md ty mval binder
   let info = binderInfo orig md ty mval (ctxLocation ctx)
       ctx' = enterBinder binder info discrete ctx
   -- A new discreteness axiom changes the saturation input; an ordinary binder
@@ -988,6 +994,13 @@
 etaMatch _mterm expected actual@PairT{} = do
   expected' <- etaExpand expected
   pure (expected', actual)
+etaMatch _mterm expected@ModAppT{} actual@ModAppT{} = pure (expected, actual)
+etaMatch _mterm expected@ModAppT{} actual = do
+  actual' <- etaExpand actual
+  pure (expected, actual')
+etaMatch _mterm expected actual@ModAppT{} = do
+  expected' <- etaExpand expected
+  pure (expected', actual)
 etaMatch _mterm expected actual = pure (expected, actual)
 
 etaExpand :: Distinct n => TermT n -> TypeCheck n (TermT n)
@@ -1014,6 +1027,9 @@
 
     CubeProductT _ty a b -> pure $
       pairT ty (firstT a term) (secondT b term)
+
+    TypeModalT _ty md inner | isRA md -> pure $
+      modAppT ty md (modExtractT inner Id md term)
 
     _ -> pure term
 
diff --git a/src/Rzk/TypeCheck/Judgements.hs b/src/Rzk/TypeCheck/Judgements.hs
--- a/src/Rzk/TypeCheck/Judgements.hs
+++ b/src/Rzk/TypeCheck/Judgements.hs
@@ -103,8 +103,17 @@
 
 -- | A fresh hole of the given type.
 mkHole :: TermT n -> TermT n
-mkHole t = HoleT TypeInfo{ infoType = t, infoWHNF = Nothing, infoNF = Nothing } Nothing
+mkHole = mkNamedHole Nothing
 
+-- | A hole carrying a name, so a suggested move can say what each of its holes
+-- stands for: @id-hom ?A ?x@ rather than @id-hom ? ?@. The name is the Π
+-- binder's, so the move reads like the lemma's own signature, and two spines of
+-- the same lemma applied to different numbers of arguments are told apart by
+-- what the extra holes are called.
+mkNamedHole :: Maybe VarIdent -> TermT n -> TermT n
+mkNamedHole mname t =
+  HoleT TypeInfo{ infoType = t, infoWHNF = Nothing, infoNF = Nothing } mname
+
 -- | The constructors of a @#data@ type former, in declaration order; empty
 -- for anything else. Found by their roles: the type former itself carries
 -- none, so the scan is over the names in scope.
@@ -316,9 +325,9 @@
   => Set.Set VarIdent -> TermT n -> TypeCheck n [(ElimCost, TermT n -> TypeCheck n (TermT n))]
 eliminatorsOf takenNames ty =
   case stripTypeRestrictions ty of
-    TypeFunT _ty _orig _md param _mtope ret ->
+    TypeFunT _ty orig _md param _mtope ret ->
       pure [ (SpineStep, \term -> do
-                let h = mkHole param
+                let h = mkNamedHole (binderName orig) param
                 retAt <- instantiate ret h
                 pure (appT retAt term h)) ]
     TypeSigmaT _ty _orig _md a b ->
@@ -505,6 +514,11 @@
       pure [ pairT target' h (mkHole bAt) ]
     CubeProductT _ty a b ->
       pure [ pairT target' (mkHole a) (mkHole b) ]
+    -- the directed interval: its two endpoints are the only closed points, and
+    -- they are what a hole in a cube position (@α ? ?@) almost always wants.
+    -- The unit cube is offered the same way, for its single point.
+    Cube2T{} -> pure [ cube2_0T, cube2_1T ]
+    CubeUnitT{} -> pure [ cubeUnitStarT ]
     TypeIdT _ty a _tA b -> do
       agree <- endpointsAgree a b
       pure [ reflT target' Nothing | agree ]
diff --git a/src/Rzk/TypeCheck/NbE.hs b/src/Rzk/TypeCheck/NbE.hs
--- a/src/Rzk/TypeCheck/NbE.hs
+++ b/src/Rzk/TypeCheck/NbE.hs
@@ -11,24 +11,35 @@
 -- (sharing by construction: a definition's value is evaluated once per
 -- occurrence, not once per copy, and Haskell's laziness makes the evaluation
 -- call-by-need) and compares the values structurally, with one-step η for
--- lambdas and pairs mirroring 'Rzk.TypeCheck.Eval.etaMatch'. It answers only
--- 'True' ("definitely convertible") or 'False' ("do not know") — never a
--- definite inequality — so a caller falls back to the ordinary unification on
--- 'False' and the fast path cannot change what typechecks, only how fast.
+-- lambdas and pairs mirroring 'Rzk.TypeCheck.Eval.etaMatch'. Evaluation is
+-- \emph{glued}: a spine over a definition keeps the spine as well as its
+-- unfolding, and the unfolding is lazy. Two spines over the same definition
+-- are then compared argument by argument, without unfolding it. Only where
+-- the spines disagree is an unfolding forced.
 --
--- Soundness is a subset argument: 'True' is answered only for terms that are
+-- It answers only 'Convertible' or 'DontKnow', never a definite inequality,
+-- so a caller falls back to the ordinary unification on 'DontKnow'. The two
+-- cases are not opposites, which is why the answer is not a 'Bool'. The fast
+-- path can therefore accept more
+-- than the unification below it, but never less. Note that it does accept
+-- more. The ordinary path decomposes an application pairwise, which invents
+-- subgoals that a βδ-equal but structurally different pair need not meet
+-- (see 'Rzk.TypeCheck.Unify.unifyViaDecompose').
+--
+-- Soundness is a subset argument: 'Convertible' is answered only for terms that are
 -- βδ-convertible up to α and the one-step η above, with every construct whose
 -- /reduction/ consults the context — @recOR@ guard selection, holes, the
 -- modal constructs — evaluating to an opaque 'VAbort' that poisons the
--- comparison into 'False'. Extension types and @recBOT@ are compared
+-- comparison into 'DontKnow'. Extension types and @recBOT@ are compared
 -- structurally (see the note at their 'eval' case): a structurally identical
 -- pair of restricted types is also accepted by the ordinary unification,
 -- through reflexive coverage and the cross-face coherences already proved at
--- formation. Every 'True' is therefore also a success of the old unification.
+-- formation. Every 'Convertible' is therefore also a success of the old
+-- unification.
 --
 -- The evaluator is a pure function of the 'Context': 'valueOfVar' is a plain
 -- reader-only lookup, and fresh variables for comparing closures are de
--- Bruijn levels ('NLevel'), so the foil scope machinery is never extended and
+-- Bruijn levels ('HFresh'), so the foil scope machinery is never extended and
 -- no quote function is needed.
 --
 -- == Attribution
@@ -38,30 +49,45 @@
 -- values, applying functions to fresh generic values — is the algorithm of
 -- Coquand, /An algorithm for type-checking dependent types/ (Science of
 -- Computer Programming 26, 1996), the implementation-level core of
--- normalisation by evaluation (Berger and Schwichtenberg, LICS 1991). The
--- concrete implementation shape follows the style popularised by András
--- Kovács' <https://github.com/AndrasKovacs/smalltt smalltt> and
--- <https://github.com/AndrasKovacs/elaboration-zoo elaboration-zoo>:
--- environment machines with closures, de Bruijn levels for fresh variables,
--- and demand-driven definition unfolding (our 'unfoldNeu' — unfold at an
--- elimination or on a comparison mismatch, comparing neutral spines first —
--- is a simplified form of smalltt's glued evaluation). For the fragment this
--- module deliberately aborts on (tope-indexed reduction such as @recOR@),
--- the template is cubical: Sterling and Angiuli, /Normalization for Cubical
--- Type Theory/ (LICS 2021), and its implementation lineage in @cooltt@.
--- What is specific to rzk is only the packaging: the all-or-nothing
--- gating ('True' or do-not-know, never refute), and 'VAbort' poisoning of
--- the context-sensitive fragment so that the fast path stays sound by a
--- subset argument.
-module Rzk.TypeCheck.NbE (nbeConvertible) where
+-- normalisation by evaluation (Berger and Schwichtenberg, LICS 1991).
+--
+-- Comparing two stuck terms by their spines, head first and arguments
+-- pairwise, rather than by normalising them, is the algorithmic equality of
+-- Abel and Coquand, /Untyped Algorithmic Equality for Martin-Löf's Logical
+-- Framework with Surjective Pairs/ (Fundamenta Informaticae 77(4):345–395,
+-- 2007; TLCA 2005), see <https://www2.tcs.ifi.lmu.de/~abel/lfsigma.pdf>.
+--
+-- The representation we use for it is the \emph{glued evaluation} of András
+-- Kovács' <https://github.com/AndrasKovacs/smalltt smalltt>. Its README
+-- states the tension as "in basic conversion checking, we want to evaluate
+-- as efficiently as possible; in quoting, we want to output terms which are
+-- as small as possible". It resolves the tension by evaluating a top-level
+-- variable to "values which represent lazy ('non-deterministic') choice
+-- between unfolding the definition, and not unfolding it". Following
+-- smalltt, 'conv' also speculates: "whenever we have the same top-level head
+-- symbol on both sides, we try to unify the spines", and unfolds only when
+-- that fails. smalltt separates its modes and uses gluing for quoting small
+-- terms as well. This module has no quote function, so it needs neither.
+-- The general implementation shape, environment machines with closures and
+-- de Bruijn levels for fresh variables, follows the same author's
+-- <https://github.com/AndrasKovacs/elaboration-zoo elaboration-zoo>.
+--
+-- For the fragment this module deliberately aborts on (tope-indexed
+-- reduction such as @recOR@), the template is cubical: Sterling and Angiuli,
+-- /Normalization for Cubical Type Theory/ (LICS 2021), and its
+-- implementation lineage in @cooltt@.
+--
+-- What is specific to rzk is only the packaging: the all-or-nothing gating
+-- ('Convertible' or 'DontKnow', never refute), and 'VAbort' poisoning of the
+-- context-sensitive fragment so that the fast path stays sound by a subset
+-- argument.
+module Rzk.TypeCheck.NbE (Conversion (..), nbeConvertible) where
 
 import           Control.Monad.Reader              (asks)
 import           Data.Bifoldable                   (bifoldMap)
 import           Data.Bifunctor                    (bimap)
-import qualified Data.IntMap                       as IntMap
 import           Data.Monoid                       (All (..))
 import           Data.ZipMatchK                    (zipMatch2)
-import           Unsafe.Coerce                     (unsafeCoerce)
 
 import           Control.Monad.Foil                (NameBinder)
 import qualified Control.Monad.Foil                as Foil
@@ -79,85 +105,184 @@
   = VLam (Closure n)
     -- ^ A lambda: its body under the environment it was evaluated in.
   | VNeutral (Neu n)
-    -- ^ A stuck elimination spine over a variable.
+    -- ^ An elimination spine, \emph{glued} to its unfolding when it has one.
   | VCon (TermSig (Closure n) (Val n))
     -- ^ Any other node, its term fields evaluated and its scoped fields
     -- closed over the environment. Covers constructors (pairs, @refl@),
     -- types (Π, Σ, identity, universes) and the cube/tope operators, which
     -- are compared structurally only (reflexivity is entailment).
-  | VAbort AbortReason
-    -- ^ A construct outside the context-insensitive fragment. Poisons the
-    -- comparison: 'conv' answers 'False' the moment it meets one. The
-    -- reason records which construct, for diagnostics.
-
--- | Why evaluation gave up: which context-sensitive construct was met.
-data AbortReason
-  = AbortHole
-  | AbortRecOr
-  | AbortModal
-  | AbortStuckElim
-    -- ^ An elimination of a non-canonical, non-neutral value (an abort
-    -- propagating through an application, projection or @idJ@).
-  deriving (Eq, Ord, Show, Enum, Bounded)
+  | VAbort
+    -- ^ A construct outside the context-insensitive fragment, or an
+    -- elimination of a value that is neither canonical nor neutral. Poisons
+    -- the comparison: 'conv' gives up the moment it meets one.
+    --
+    -- Carries no reason. Nothing can observe one: the module exports
+    -- 'nbeConvertible' alone, whose 'DontKnow' says only that the fast path
+    -- declined. The eval cases below say which construct each abort is for.
 
+-- | An elimination spine: what it stands on, and what is eliminated off it.
+--
+-- The two constructors carry the gluing invariant. Only a spine on a name with
+-- a definition unfolds, so only 'NGlued' has an unfolding, and a spine on a
+-- comparison level cannot be given one. This was a 'Maybe' beside the spine
+-- and a comment saying when it was 'Just'.
 data Neu n
-  = NVar (Foil.Name n)
-    -- ^ An ambient variable (its definition, if any, is unfolded on demand
-    -- by 'unfoldNeu').
-  | NLevel Int
-    -- ^ A fresh variable minted while comparing closures.
-  | NApp (Neu n) (Val n)
-  | NFirst (Neu n)
-  | NSecond (Neu n)
-  | NIdJ (Val n) (Val n) (Val n) (Val n) (Val n) (Neu n)
+  = NRigid (Head n) [Elim n]
+    -- ^ A spine that does not unfold: on a local, an assumption, or a fresh
+    -- comparison level.
+  | NGlued (Foil.Name n) [Elim n] (Val n)
+    -- ^ A spine on a name with a definition, beside the value the /whole
+    -- spine/ unfolds to. That value is a lazy thunk maintained as the spine
+    -- grows, so we compute it at most once and only on demand.
+    --
+    -- We keep both so that 'conv' can answer @f a =? f a@ from the two
+    -- spines, without unfolding @f@. Keeping only the unfolding, as this
+    -- evaluator did before, normalises a repeated lemma once per occurrence,
+    -- and again per nesting level.
 
--- | A scoped term closed over its environment. The environment maps the raw
--- ids of the binders passed on the way down to values; a missing id belongs
--- to the ambient scope @n@ (the same invariant 'peelLambdas' relies on for
--- its substitution).
+-- | What a spine stands on.
+data Head n
+  = HVar (Foil.Name n)
+    -- ^ An ambient name with no definition.
+  | HFresh DeBruijnLevel
+    -- ^ A fresh variable minted while comparing two closures.
+
+-- | One elimination off a spine.
 --
+-- A spine holds its eliminations \emph{outermost first}, so @f a b@ is
+-- @'NRigid' ('HVar' f) ['EApp' b, 'EApp' a]@. Growing a spine is then a cons
+-- rather than an append, which keeps 'applyVal' constant-time in the length
+-- of the spine.
+data Elim n
+  = EApp (Val n)
+  | EFirst
+  | ESecond
+  | EIdJ (Val n) (Val n) (Val n) (Val n) (Val n)
+    -- ^ Path induction over the spine: the type, the base point, the motive,
+    -- the base case, and the endpoint. The path is the spine itself.
+
+-- | The supply of fresh variables minted while comparing two closures: a de
+-- Bruijn level, counting binders from the outside in.
+--
+-- Note that such a variable is not a name of the ambient scope @n@, so a
+-- @'Val' n@ is really a value in @n@ extended by whichever of these are live.
+-- We do not index that: extending the foil scope per comparison is the cost
+-- this module exists to avoid, and it would need a quote function to get back
+-- out. The newtype buys only that the supply cannot be confused with another
+-- 'Int'.
+--
+-- The discipline it rests on is that every level reachable from a value being
+-- compared at @lvl@ was minted below @lvl@. That holds because a closure
+-- captures only levels minted before it, and because sibling fields of a
+-- 'VCon' are compared independently, so one field's levels never reach
+-- another. It is checked by reading, not by the types.
+newtype DeBruijnLevel = DeBruijnLevel Int
+  deriving (Eq)
+
+-- | The next level to mint, once @lvl@ has been used.
+nextLevel :: DeBruijnLevel -> DeBruijnLevel
+nextLevel (DeBruijnLevel i) = DeBruijnLevel (i + 1)
+
+-- | Grow a spine by one elimination, pushing the same elimination into the
+-- unfolding when there is one.
+--
+-- We match on the spine rather than use 'fmap' over a 'Maybe'. A rigid spine
+-- then costs one allocation, and not also the closure that would push the
+-- elimination into an unfolding it does not have.
+elimNeu :: Elim n -> (Val n -> Val n) -> Neu n -> Neu n
+elimNeu e onUnfolding = \case
+  NRigid h es   -> NRigid h (e : es)
+  NGlued x es u -> NGlued x (e : es) (onUnfolding u)
+
+-- | What a spine stands on, always.
+headOf :: Neu n -> Head n
+headOf (NRigid h _)   = h
+headOf (NGlued x _ _) = HVar x
+
+-- | What is eliminated off a spine, outermost first.
+elimsOf :: Neu n -> [Elim n]
+elimsOf (NRigid _ es)   = es
+elimsOf (NGlued _ es _) = es
+
+-- | A scoped term closed over its environment. The term lives in the scope
+-- @i@ the environment is defined on, and the values it evaluates to live in
+-- the ambient scope @n@.
+--
 -- One binder, not @NameBinders i l@: every scope field of every 'TermSig'
 -- constructor is a unary 'ScopedAST' (even a pair-pattern lambda binds one
 -- variable operationally), so a multi-binder closure would have nothing to
 -- be built from without peeling syntactic lambda chains in 'eval'. Peeling
 -- (the eval/apply arity optimisation of Marlow and Peyton Jones' fast
 -- curry) does not pay here the way spine-batching paid at the term level:
--- an intermediate 'VLam' costs one closure and one persistent
--- 'IntMap.insert', not a 'substituteT' traversal, and η-comparison and
--- partial application want one-argument-at-a-time semantics anyway.
+-- an intermediate 'VLam' costs one closure and one persistent environment
+-- insert, not a 'substituteT' traversal, and η-comparison and partial
+-- application want one-argument-at-a-time semantics anyway.
 data Closure n where
-  Closure :: Env n -> NameBinder i l -> TermT l -> Closure n
+  Closure :: Env i n -> NameBinder i l -> TermT l -> Closure n
 
--- | Lazy on purpose: forcing an entry would evaluate it, and evaluation is
--- call-by-need.
-type Env n = IntMap.IntMap (Val n)
+-- | An environment for evaluating a term of scope @i@ into values of the
+-- ambient scope @n@. It maps the binders passed on the way down to the values
+-- they were bound to; the entries are lazy on purpose, since forcing one would
+-- evaluate it and evaluation is call-by-need.
+--
+-- This is 'Foil.Substitution', which is exactly that: a map from the names of
+-- @i@ to something in @n@, storing only the names it moves. A name it does not
+-- carry stands for itself, and 'Foil.lookupSubst' produces that itself through
+-- 'Foil.injectName' (see 'Foil.addRename', which deletes an identity rename
+-- rather than storing it). Every 'Foil.addSubst' advances @i@ by the binder it
+-- inserts, so the scope index tracks which binders the environment accounts
+-- for, and the identity environment for the ambient scope is the empty one.
+--
+-- This is the same invariant 'peelLambdas' relies on for its substitution.
+type Env i n = Foil.Substitution Val i n
 
+-- | A name stands for the empty rigid spine on itself. 'Foil.lookupSubst' uses
+-- this for a name the environment does not carry, which is also how the name
+-- arrives at the ambient scope @n@.
+instance Foil.InjectName Val where
+  injectName x = VNeutral (NRigid (HVar x) [])
+
 -- * Evaluation
 
-eval :: forall i n. Context n -> Env n -> TermT i -> Val n
+eval :: forall i n. Context n -> Env i n -> TermT i -> Val n
 eval ctx env = \case
-  Var x -> case IntMap.lookup (Foil.nameId x) env of
-    Just v  -> v
-    -- An env miss is an ambient name; kept neutral here, unfolded on demand.
-    Nothing -> VNeutral (NVar (unsafeCoerce x))
+  -- An ambient name stays a spine, glued to the value of its definition when
+  -- it has one. We evaluate that value only on demand, and in the ambient
+  -- scope, whose identity environment is the empty one.
+  --
+  -- The environment carries no ambient name, so a lookup that lands here is
+  -- either a miss, or a hit on a value that is itself a rigid spine on an
+  -- ambient name with nothing eliminated off it. Every value the environment
+  -- holds is an output of 'eval' or a fresh 'HFresh' variable, so in the
+  -- second case the head was already glued and carries no definition, and
+  -- gluing it again changes nothing.
+  Var x -> case Foil.lookupSubst env x of
+    v@(VNeutral (NRigid (HVar x') [])) ->
+      case varValue (lookupVarInfo x' ctx) of
+        Nothing   -> v
+        Just body -> VNeutral (NGlued x' [] (eval ctx Foil.identitySubst body))
+    v -> v
 
   AppT _ty f x -> applyVal ctx (eval ctx env f) (eval ctx env x)
   LambdaT _ty _orig _mparam (ScopedAST binder body) ->
     VLam (Closure env binder body)
   LetT _ty _orig _mparam val (ScopedAST binder body) ->
-    eval ctx (IntMap.insert (Foil.nameId (Foil.nameOf binder)) (eval ctx env val) env) body
-  FirstT _ty t  -> projVal ctx NFirst  fstOf (eval ctx env t)
-  SecondT _ty t -> projVal ctx NSecond sndOf (eval ctx env t)
+    eval ctx (Foil.addSubst env binder (eval ctx env val)) body
+  FirstT _ty t  -> projVal ProjFirst  (eval ctx env t)
+  SecondT _ty t -> projVal ProjSecond (eval ctx env t)
   TypeAscT _ty term _ty' -> eval ctx env term
   IdJT _ty tA a tC d x p ->
     let vd = eval ctx env d
-    in case forceVal ctx (eval ctx env p) of
-         VCon ReflF{} -> vd
-         VNeutral np  -> VNeutral
-           (NIdJ (eval ctx env tA) (eval ctx env a) (eval ctx env tC)
-                 vd (eval ctx env x) np)
-         VAbort r -> VAbort r
-         _ -> VAbort AbortStuckElim
+        e = EIdJ (eval ctx env tA) (eval ctx env a) (eval ctx env tC)
+                 vd (eval ctx env x)
+        -- As in 'projVal'. The induction stays stuck on the spine, and is
+        -- glued to the induction over the unfolded path.
+        elim = \case
+          VCon ReflF{} -> vd
+          VNeutral neu -> VNeutral (elimNeu e elim neu)
+          -- an abort propagating through, or a stuck induction
+          _            -> VAbort
+    in elim (eval ctx env p)
 
   -- The context-sensitive fragment. A @recOR@ reduces by deciding its guards
   -- against the tope context, and a hole defers by design, so both abort. The
@@ -171,127 +296,199 @@
   -- disjunction containing itself) and by re-checking the cross-face
   -- coherences that were already proved when the type was formed (entailment
   -- is monotone in the tope context). Two @recBOT@s unify unconditionally.
-  HoleT{} -> VAbort AbortHole
-  RecOrT{} -> VAbort AbortRecOr
-  TypeModalT{} -> VAbort AbortModal
-  ModAppT{} -> VAbort AbortModal
-  ModExtractT{} -> VAbort AbortModal
-  LetModT{} -> VAbort AbortModal
+  HoleT{} -> VAbort
+  RecOrT{} -> VAbort
+  TypeModalT{} -> VAbort
+  ModAppT{} -> VAbort
+  ModExtractT{} -> VAbort
+  LetModT{} -> VAbort
 
   -- everything else is a plain constructor: evaluate the fields
   Node (AnnSig _info sig) ->
     VCon (bimap (\(ScopedAST binder body) -> Closure env binder body) (eval ctx env) sig)
-  where
-    fstOf l _r = l
-    sndOf _l r = r
 
--- | β, and δ at the head of an elimination, exactly where 'whnfT' unfolds.
+-- | β, and the same application pushed into the glued unfolding. Applying a
+-- spine grows the spine rather than forcing its head. We carry the unfolded
+-- side along lazily, so we normalise nothing unless a comparison asks for it,
+-- and the shared thunk keeps us from normalising it twice.
 applyVal :: Context n -> Val n -> Val n -> Val n
 applyVal ctx f v = case f of
   VLam closure -> applyClosure ctx closure v
-  VNeutral neu -> case unfoldNeu ctx neu of
-    Just f' -> applyVal ctx f' v
-    Nothing -> VNeutral (NApp neu v)
-  VAbort r -> VAbort r
-  _ -> VAbort AbortStuckElim
+  VNeutral neu -> VNeutral (elimNeu (EApp v) (\u -> applyVal ctx u v) neu)
+  -- an abort propagating through, or a stuck application
+  _ -> VAbort
 
 applyClosure :: Context n -> Closure n -> Val n -> Val n
 applyClosure ctx (Closure env binder body) v =
-  eval ctx (IntMap.insert (Foil.nameId (Foil.nameOf binder)) v env) body
-
--- | Project from a pair value, or stay neutral.
-projVal
-  :: Context n
-  -> (Neu n -> Neu n) -> (Val n -> Val n -> Val n)
-  -> Val n -> Val n
-projVal ctx neu pick v = case forceVal ctx v of
-  VCon (PairF l r) -> pick l r
-  VNeutral n       -> VNeutral (neu n)
-  VAbort r         -> VAbort r
-  _                -> VAbort AbortStuckElim
+  eval ctx (Foil.addSubst env binder v) body
 
--- | Unfold a neutral's head definition once (replaying the spine), if it has one.
--- A top-level definition's value is cached (see 'cachedDefVal'); a local value
--- (rare at the head of a neutral) is evaluated in place.
-unfoldNeu :: Context n -> Neu n -> Maybe (Val n)
-unfoldNeu ctx = \case
-  NVar x   -> eval ctx IntMap.empty <$> varValue (lookupVarInfo x ctx)
-  NLevel _ -> Nothing
-  NApp n v -> (\f -> applyVal ctx f v) <$> unfoldNeu ctx n
-  NFirst n  -> projVal ctx NFirst  (\l _ -> l) <$> unfoldNeu ctx n
-  NSecond n -> projVal ctx NSecond (\_ r -> r) <$> unfoldNeu ctx n
-  NIdJ tA a tC d x n ->
-    (\vp -> case forceVal ctx vp of
-        VCon ReflF{} -> d
-        VNeutral np  -> VNeutral (NIdJ tA a tC d x np)
-        VAbort r     -> VAbort r
-        _            -> VAbort AbortStuckElim)
-    <$> unfoldNeu ctx n
+-- | Which component of a pair a projection takes. One value decides both the
+-- spine 'projVal' builds and the component it picks, so the two cannot
+-- disagree.
+data Proj = ProjFirst | ProjSecond
 
--- | Unfold definitions at the head until the value is canonical or truly stuck.
-forceVal :: Context n -> Val n -> Val n
-forceVal ctx (VNeutral n) | Just v <- unfoldNeu ctx n = forceVal ctx v
-forceVal _ v = v
+-- | Project from a pair value, or stay neutral. For a glued spine the
+-- projection stays stuck on the spine, and is glued to the projection out of
+-- the unfolding. Thus 'conv' can still compare @π₁ (f a)@ rigidly.
+projVal :: Proj -> Val n -> Val n
+projVal proj = go
+  where
+    go = \case
+      VCon (PairF l r) -> case proj of
+        ProjFirst  -> l
+        ProjSecond -> r
+      VNeutral neu -> VNeutral (elimNeu e go neu)
+      -- an abort propagating through, or a stuck projection
+      _            -> VAbort
+    e = case proj of
+      ProjFirst  -> EFirst
+      ProjSecond -> ESecond
 
 -- * Conversion
 
--- | 'False' means "do not know", never a definite inequality.
-conv :: Context n -> Int -> Val n -> Val n -> Bool
-conv ctx lvl l r = case (forceVal ctx l, forceVal ctx r) of
-  (VAbort _, _) -> False
-  (_, VAbort _) -> False
+-- | 'False' means "do not know", never a definite inequality. The exported
+-- 'nbeConvertible' names the two cases; inside, 'Bool' is the conjunction
+-- monoid this folds with.
+--
+-- We compare two spines standing on the same definition argument by argument,
+-- with neither side unfolded. Congruence makes that answer definite. Forcing
+-- both sides to a weak head normal form first, which is what this module did
+-- before, normalises a repeated lemma once per occurrence, and again per
+-- nesting level.
+conv :: Context n -> DeBruijnLevel -> Val n -> Val n -> Bool
+conv ctx lvl l r
+  -- Look for a nearby state in which the two sides stand on the same
+  -- definition, and answer from their spines if there is one.
+  | align l r = True
+  -- Without an alignment we force both sides to a weak head normal form and
+  -- compare them structurally, as before.
+  | otherwise = case (forceVal l, forceVal r) of
+      (VAbort, _) -> False
+      (_, VAbort) -> False
 
-  (VLam c1, VLam c2) ->
-    conv ctx (lvl + 1) (applyClosure ctx c1 (freshV lvl)) (applyClosure ctx c2 (freshV lvl))
-  -- one-step η for lambdas, as in 'etaMatch'
-  (VLam c1, v2) ->
-    conv ctx (lvl + 1) (applyClosure ctx c1 (freshV lvl)) (applyVal ctx v2 (freshV lvl))
-  (v1, VLam c2) ->
-    conv ctx (lvl + 1) (applyVal ctx v1 (freshV lvl)) (applyClosure ctx c2 (freshV lvl))
+      (VLam c1, VLam c2) ->
+        conv ctx (nextLevel lvl) (applyClosure ctx c1 (freshV lvl)) (applyClosure ctx c2 (freshV lvl))
+      -- one-step η for lambdas, as in 'etaMatch'
+      (VLam c1, v2) ->
+        conv ctx (nextLevel lvl) (applyClosure ctx c1 (freshV lvl)) (applyVal ctx v2 (freshV lvl))
+      (v1, VLam c2) ->
+        conv ctx (nextLevel lvl) (applyVal ctx v1 (freshV lvl)) (applyClosure ctx c2 (freshV lvl))
 
-  -- one-step η for pairs
-  (VCon (PairF a b), VNeutral n) ->
-    conv ctx lvl a (VNeutral (NFirst n)) && conv ctx lvl b (VNeutral (NSecond n))
-  (VNeutral n, VCon (PairF a b)) ->
-    conv ctx lvl (VNeutral (NFirst n)) a && conv ctx lvl (VNeutral (NSecond n)) b
+      -- one-step η for pairs. Both sides are forced here, so the spine is
+      -- rigid and 'projVal' grows it without unfolding anything.
+      (VCon (PairF a b), n@(VNeutral _)) ->
+        conv ctx lvl a (projVal ProjFirst n) && conv ctx lvl b (projVal ProjSecond n)
+      (n@(VNeutral _), VCon (PairF a b)) ->
+        conv ctx lvl (projVal ProjFirst n) a && conv ctx lvl (projVal ProjSecond n) b
 
-  (VCon s1, VCon s2) -> case zipMatch2 s1 s2 of
-    Nothing -> False
-    Just s  -> getAll (bifoldMap
-      (All . uncurry (convClosure ctx lvl))
-      (All . uncurry (conv ctx lvl))
-      s)
+      (VCon s1, VCon s2) -> case zipMatch2 s1 s2 of
+        Nothing -> False
+        Just s  -> getAll (bifoldMap
+          (All . uncurry (convClosure ctx lvl))
+          (All . uncurry (conv ctx lvl))
+          s)
 
-  (VNeutral n1, VNeutral n2) -> convNeu ctx lvl n1 n2
-  _ -> False
+      (VNeutral n1, VNeutral n2) -> convNeu ctx lvl n1 n2
+      _ -> False
   where
-    freshV = VNeutral . NLevel
+    freshV k = VNeutral (NRigid (HFresh k) [])
 
-convClosure :: Context n -> Int -> Closure n -> Closure n -> Bool
+    -- Two spines on the same definition are convertible when their
+    -- eliminations are. This is congruence, and it needs no unfolding.
+    --
+    -- Only a glued spine is worth trying. A rigid one reaches the structural
+    -- case below anyway, and attempting it here would only repeat a failure.
+    -- We need no separate head test: 'convNeu' compares the two heads first.
+    aligned (VNeutral n1@NGlued{}) (VNeutral n2) = convNeu ctx lvl n1 n2
+    aligned _ _ = False
+
+    unfolded (VNeutral (NGlued _ _ u)) = Just u
+    unfolded _                         = Nothing
+
+    -- The two sides need not stand on the same definition to begin with.
+    -- One is often the other under a thin wrapper, such as
+    -- @transport … refl t@ for @t@, an alias, or an accessor, and such a
+    -- wrapper is a δ-step or two away. We therefore search the unfoldings of
+    -- both sides, nearest first, and take the first shared head.
+    --
+    -- The search is breadth-first over both chains at once. Walking one chain
+    -- to its end before starting the other normalises that side completely
+    -- whenever the wrapper is on the other side. For example,
+    -- @d20 A f x@ against @wrap A (d20 A f x)@ aligns after one step on the
+    -- right, but costs 21 million evaluation steps if we walk the left chain
+    -- first.
+    align a b = or
+      [ aligned a' b'
+      | k <- [0 .. maxAlignOffset]
+      , (i, a') <- zip [0 :: Int ..] (chainOf a)
+      , (j, b') <- zip [0 :: Int ..] (chainOf b)
+      , max i j == k ]
+
+    -- Lazy, and cut off at the window. An element is forced only when the
+    -- search reaches it.
+    chainOf v = take (maxAlignOffset + 1) (v : maybe [] chainOf (unfolded v))
+
+    -- Unfold at the head until the value is canonical or truly stuck.
+    forceVal v = maybe v forceVal (unfolded v)
+
+-- | How far to look for a shared head before giving up and comparing weak
+-- head normal forms instead. A wrapper sits one or two unfoldings from what
+-- it wraps, and beyond that a shared head is unlikely. Every step inside the
+-- window forces an unfolding that the fallback would force anyway, so the
+-- window costs nothing extra. We keep it small.
+maxAlignOffset :: Int
+maxAlignOffset = 4
+
+convClosure :: Context n -> DeBruijnLevel -> Closure n -> Closure n -> Bool
 convClosure ctx lvl c1 c2 =
-  conv ctx (lvl + 1) (applyClosure ctx c1 fresh) (applyClosure ctx c2 fresh)
+  conv ctx (nextLevel lvl) (applyClosure ctx c1 fresh) (applyClosure ctx c2 fresh)
   where
-    fresh = VNeutral (NLevel lvl)
+    fresh = VNeutral (NRigid (HFresh lvl) [])
 
-convNeu :: Context n -> Int -> Neu n -> Neu n -> Bool
-convNeu ctx lvl = go
+-- | Two spines are convertible when they stand on the same head and their
+-- eliminations agree pairwise. Neither side is unfolded.
+convNeu :: Context n -> DeBruijnLevel -> Neu n -> Neu n -> Bool
+convNeu ctx lvl n1 n2 =
+  convHead (headOf n1) (headOf n2) && convElims (elimsOf n1) (elimsOf n2)
   where
-    go (NVar x) (NVar y) = Foil.nameId x == Foil.nameId y
-    go (NLevel i) (NLevel j) = i == j
-    go (NApp n v) (NApp n' v') = go n n' && conv ctx lvl v v'
-    go (NFirst n) (NFirst n') = go n n'
-    go (NSecond n) (NSecond n') = go n n'
-    go (NIdJ tA a tC d x n) (NIdJ tA' a' tC' d' x' n') =
-      go n n'
-        && conv ctx lvl tA tA' && conv ctx lvl a a' && conv ctx lvl tC tC'
+    convHead (HVar x) (HVar y)     = Foil.nameId x == Foil.nameId y
+    convHead (HFresh i) (HFresh j) = i == j
+    convHead _ _                   = False
+
+    -- The recursive call comes first so that a difference in spine length,
+    -- and the innermost eliminations, are settled before we compare the
+    -- arguments of the outermost one.
+    convElims [] []           = True
+    convElims (e:es) (e':es') = convElims es es' && convElim e e'
+    convElims _ _             = False
+
+    convElim (EApp v) (EApp v') = conv ctx lvl v v'
+    convElim EFirst EFirst      = True
+    convElim ESecond ESecond    = True
+    convElim (EIdJ tA a tC d x) (EIdJ tA' a' tC' d' x') =
+      conv ctx lvl tA tA' && conv ctx lvl a a' && conv ctx lvl tC tC'
         && conv ctx lvl d d' && conv ctx lvl x x'
-    go _ _ = False
+    convElim _ _                = False
 
 -- * Entry point
 
--- | Are the two terms definitely convertible? 'False' means "do not know" —
--- fall back to the ordinary unification.
-nbeConvertible :: TermT n -> TermT n -> TypeCheck n Bool
+-- | The answer of the fast path.
+--
+-- Note that the two cases are not opposites, so this is deliberately not a
+-- 'Bool': 'DontKnow' is never a refutation, and a caller may not read it as
+-- one.
+data Conversion
+  = Convertible
+    -- ^ Definitely convertible, by the module's soundness argument.
+  | DontKnow
+    -- ^ No answer. The two terms may well be convertible, and the caller
+    -- falls back to the ordinary unification to find out.
+  deriving (Eq, Show)
+
+-- | Are the two terms definitely convertible?
+nbeConvertible :: TermT n -> TermT n -> TypeCheck n Conversion
 nbeConvertible t1 t2 = asks $ \ctx ->
-  conv ctx 0 (eval ctx IntMap.empty t1) (eval ctx IntMap.empty t2)
+  if conv ctx (DeBruijnLevel 0) (eval ctx Foil.identitySubst t1) (eval ctx Foil.identitySubst t2)
+    then Convertible
+    else DontKnow
 
diff --git a/src/Rzk/TypeCheck/Render.hs b/src/Rzk/TypeCheck/Render.hs
--- a/src/Rzk/TypeCheck/Render.hs
+++ b/src/Rzk/TypeCheck/Render.hs
@@ -332,7 +332,7 @@
               ret' <- openScoped binder ret
               -- FIXME: breaks for 2 * (2 * 2), but works for 2 * 2 * 2 = (2 * 2) * 2
               Just <$> renderForSubShapeSVG mainColor dim
-                (Foil.sinkContainer xs) (Foil.nameOf binder)
+                (Foil.sink1 xs) (Foil.nameOf binder)
                 ret' (Foil.sink f) (Foil.sink x)
       _ -> do
         t' <- whnfT t
@@ -351,8 +351,8 @@
             pure (appT ret' (Foil.sink t') z)
         let mp' | extend = join' (fmap (both Foil.sink) mp) arg' z
                 | otherwise = fmap (both Foil.sink) mp
-            xs' | extend = Foil.nameOf binder : Foil.sinkContainer xs
-                | otherwise = Foil.sinkContainer xs
+            xs' | extend = Foil.nameOf binder : Foil.sink1 xs
+                | otherwise = Foil.sink1 xs
         renderTermSVGFor mainColor accDim' (mp', xs') body
 
     both f (x, y) = (f x, f y)
diff --git a/src/Rzk/TypeCheck/Unify.hs b/src/Rzk/TypeCheck/Unify.hs
--- a/src/Rzk/TypeCheck/Unify.hs
+++ b/src/Rzk/TypeCheck/Unify.hs
@@ -29,7 +29,7 @@
 import           Rzk.TypeCheck.Error
 import           Rzk.TypeCheck.Eval
 import           Rzk.TypeCheck.Monad
-import           Rzk.TypeCheck.NbE (nbeConvertible)
+import           Rzk.TypeCheck.NbE (Conversion (..), nbeConvertible)
 
 -- | Open two scoped terms under /one/ binder, so that the two sides of a
 -- comparison are compared as functions of the same variable.
@@ -51,6 +51,24 @@
   scope <- asks ctxScope
   pure (alphaEqT scope l r)
 
+-- | Run @check super sub@ on the pair @(expected, actual)@, oriented by the
+-- ambient variance. Under 'Covariant' the expected type is the supertype and
+-- under 'Contravariant' the actual one is. 'Invariant' is normally handled
+-- upstream by running both directions; we run both here as well, for safety.
+bySubtyping
+  :: (TermT n -> TermT n -> TypeCheck n ())
+  -> TermT n -> TermT n -> TypeCheck n ()
+bySubtyping check expected actual = asks ctxCovariance >>= \case
+  Covariant     -> check expected actual
+  Contravariant -> check actual expected
+  Invariant     -> check expected actual >> check actual expected
+
+-- | The domain of a shape-indexed function is contravariant, so the subtype's
+-- domain tope has to hold wherever the supertype's does. Shared by Π-types
+-- and by the lambdas that inhabit them.
+domainEntails :: Distinct n => TermT n -> TermT n -> TypeCheck n ()
+domainEntails superTope subTope = localTope superTope $ contextEntails subTope
+
 unifyTopes :: Distinct n => TermT n -> TermT n -> TypeCheck n ()
 unifyTopes l r = do
   equiv <- (&&)
@@ -79,17 +97,18 @@
     then return ()
     else do
       -- The NbE fast path: a shared-evaluation βδη-conversion check over the
-      -- context-insensitive fragment. 'True' is definite (see the module's
-      -- soundness note); 'False' only means "do not know", and unification
-      -- proceeds unchanged. It must run /before/ the application decomposition
-      -- below: decomposing @f x@ against @g y@ compares the arguments pairwise,
-      -- which for βδ-equal but structurally different applications creates
-      -- false subgoals (e.g. @16 =? 128@ from @16 · 16 =? 128 + 128@) that the
-      -- old path then grinds through only to fail and unwind.
+      -- context-insensitive fragment. 'Convertible' is definite (see the
+      -- module's soundness note); 'DontKnow' is not a refutation, and
+      -- unification proceeds unchanged. It must run /before/ the application
+      -- decomposition below: decomposing @f x@ against @g y@ compares the
+      -- arguments pairwise, which for βδ-equal but structurally different
+      -- applications creates false subgoals (e.g. @16 =? 128@ from
+      -- @16 · 16 =? 128 + 128@) that the old path then grinds through only to
+      -- fail and unwind.
       fastPath <- nbeConvertible expected actual
-      if fastPath
-        then return ()
-        else case (expected, actual) of
+      case fastPath of
+        Convertible -> return ()
+        DontKnow -> case (expected, actual) of
           (AppT _ f x, AppT _ g y) -> do
             unify Nothing f g
             setVariance Invariant $ unify Nothing x y
@@ -284,14 +303,6 @@
               switchVariance $  -- unifying in the negative position!
                 unifyTerms cube cube' -- FIXME: unifyCubes
               inScope2 orig' md cube' ret ret' $ \binder retBody retBody' -> do
-                -- The tope checks below are subtyping checks with a fixed direction
-                -- relative to (subtype, supertype). Which side is the subtype
-                -- depends on the ambient variance: under Covariant the actual type
-                -- must be a subtype of the expected one; under Contravariant (inside
-                -- a domain) the roles are reversed. Invariant is normally handled
-                -- upstream by running both directions; it is handled here as well
-                -- for safety.
-                variance <- asks ctxCovariance
                 scope <- asks ctxScope
                 let openTope = fmap (openWith scope (Foil.nameOf binder))
                     mtopeIn = openTope mtope
@@ -304,16 +315,11 @@
                     -- We DO NOT take the tope context Φ into account!
                     expectedTopeNF <- fromMaybe topeTopT <$> traverse nfT mtopeIn
                     actualTopeNF   <- fromMaybe topeTopT <$> traverse nfT mtopeIn'
-                    let subEntailsSuper subNF superNF = do
+                    let superEntailedBySub superNF subNF = do
                           entails <- [plainTope subNF] `entailM` superNF
                           unless (entails || containsHole subNF || containsHole superNF) $
                             issueTypeError (TypeErrorTopeNotSatisfied [subNF] superNF)
-                    case variance of
-                      Covariant     -> subEntailsSuper actualTopeNF expectedTopeNF
-                      Contravariant -> subEntailsSuper expectedTopeNF actualTopeNF
-                      Invariant     -> do
-                        subEntailsSuper actualTopeNF expectedTopeNF
-                        subEntailsSuper expectedTopeNF actualTopeNF
+                    bySubtyping superEntailedBySub expectedTopeNF actualTopeNF
                   _ -> do
                     -- this is the case for Π-types and extension types
                     --
@@ -321,14 +327,7 @@
                     -- when Ξ | Φ, ψ ⊢ φ
                     expectedTopeNF <- fromMaybe topeTopT <$> traverse nfT mtopeIn
                     actualTopeNF   <- fromMaybe topeTopT <$> traverse nfT mtopeIn'
-                    let superEntailsSub superNF subNF =
-                          localTope superNF $ contextEntails subNF
-                    case variance of
-                      Covariant     -> superEntailsSub expectedTopeNF actualTopeNF
-                      Contravariant -> superEntailsSub actualTopeNF expectedTopeNF
-                      Invariant     -> do
-                        superEntailsSub expectedTopeNF actualTopeNF
-                        superEntailsSub actualTopeNF expectedTopeNF
+                    bySubtyping domainEntails expectedTopeNF actualTopeNF
                 case mterm of
                   Nothing -> unifyTerms retBody retBody'
                   Just term ->
@@ -385,8 +384,14 @@
                         let openTope = fmap (openWith scope (Foil.nameOf binder))
                         case (openTope mtope, openTope mtope') of
                           (Just tope, Just tope') -> do
-                            unify Nothing tope tope' -- we (should) have already checked this in types!
-                            localTope tope $ unify Nothing bodyIn bodyIn'
+                            -- The two lambdas need not stand on the same shape.
+                            -- η-expansion takes the domain tope from the
+                            -- function's own type, so this is the same
+                            -- obligation as for the Π-type above.
+                            bySubtyping domainEntails tope tope'
+                            -- The bodies agree only where both are defined.
+                            localTope (topeAndT tope tope') $
+                              unify Nothing bodyIn bodyIn'
                           (Nothing, Nothing) ->
                             unify Nothing bodyIn bodyIn'
                           _ -> errIn
@@ -471,10 +476,17 @@
               when (m' /= m) err
               enterModality m $ unify Nothing ty ty'
             _ -> err
+        -- The external component of an extraction is bookkeeping, not
+        -- denotation: it records the lock under which the extracted value was
+        -- checked, so that evaluation re-enters it correctly, but the term
+        -- denotes the counit of the inner modality at the value either way.
+        -- It is also not canonical: 'etaExpand' always writes @Id@, while the
+        -- elaboration of @let ν mod µ@ writes ν, so comparing the external
+        -- components would sever η-equal spellings of the same counit
+        -- (e.g. @$extract$ ♯/♯ t@ against @$extract$ _id/♯ t@).
         ModExtractT _ty app inn te ->
           case actual' of
-            ModExtractT _ty' app' inn' te' -> do
-              when (app' /= app) err
+            ModExtractT _ty' _app' inn' te' -> do
               when (inn' /= inn) err
               enterModality app $ unify Nothing te te'
             _ -> err
diff --git a/src/Rzk/Version.hs b/src/Rzk/Version.hs
new file mode 100644
--- /dev/null
+++ b/src/Rzk/Version.hs
@@ -0,0 +1,219 @@
+-- The commit is spliced in at compile time, so the splices below are literals
+-- by the time the pattern checker sees them and one branch of each choice is
+-- statically dead. (Agda's Agda.VersionCommit silences the same warning.)
+{-# OPTIONS_GHC -Wno-overlapping-patterns #-}
+
+{-# LANGUAGE CPP               #-}
+{-# LANGUAGE OverloadedStrings #-}
+{-# LANGUAGE RecordWildCards   #-}
+{-# LANGUAGE TemplateHaskell   #-}
+
+-- | Which build of rzk this is: the package version, the commit it was built
+-- from (when the build supplied one), the compiler and platform, and which
+-- Cabal flags it was built with.
+--
+-- The package version itself is generated by Cabal into @Paths_rzk@, an
+-- autogenerated /other/ module of the library, so a tool that links rzk cannot
+-- import it. This module exposes it as part of the public API instead, together
+-- with the rest of the build details, so a consumer (the @rzk@ executable, the
+-- rzk-game) can report which checker it is running.
+module Rzk.Version (
+  -- * The package version
+  version,
+  versionString,
+
+  -- * The full build description
+  VersionInfo (..),
+  BuildFlag (..),
+  FlagState (..),
+  versionInfo,
+  buildFlags,
+  ppVersionInfo,
+  isoCommitDate,
+) where
+
+import           Data.Aeson                 (ToJSON (..), object, (.=))
+import           Data.Version               (Version, showVersion)
+import           Development.GitRev         (gitCommitDate, gitDirtyTracked,
+                                             gitHash)
+import           Language.Haskell.TH.Syntax (lift, runIO)
+import           System.Environment         (lookupEnv)
+import qualified System.Info
+
+import qualified Paths_rzk
+
+-- | The version of the @rzk@ package.
+version :: Version
+version = Paths_rzk.version
+
+-- | The version of the @rzk@ package, rendered as a string (e.g. @"0.11.2"@).
+--
+-- This is what @rzk version@ prints, and tools scrape it as such, so it is
+-- deliberately just the version and nothing else.
+versionString :: String
+versionString = showVersion version
+
+-- | Whether a Cabal flag is on for this build.
+data FlagState
+  = FlagOn
+  | FlagOff
+  deriving (Eq, Show)
+
+-- | A Cabal flag of the @rzk@ package, with the state this build has.
+data BuildFlag = BuildFlag
+  { buildFlagName  :: String
+  , buildFlagState :: FlagState
+  } deriving (Eq, Show)
+
+-- | Every Cabal flag of the package, each with the state this build has.
+--
+-- A tool that wants a language server can look up @lsp@ here rather than run
+-- @rzk lsp@ and see whether it fails.
+--
+-- Note that the state is what was compiled in, not what was asked for: the
+-- JavaScript and WebAssembly backends have no LSP support whatever the @lsp@
+-- flag says, and @lsp@ reads as off in such a build.
+buildFlags :: [BuildFlag]
+buildFlags =
+  [ BuildFlag "lsp"
+#ifdef LSP_ENABLED
+      FlagOn
+#else
+      FlagOff
+#endif
+  ]
+
+-- | Everything this build knows about itself.
+data VersionInfo = VersionInfo
+  { versionInfoVersion   :: Version
+    -- ^ The package version.
+  , versionInfoCommit    :: Maybe String
+    -- ^ The commit rzk was built from, when the build knew one (see
+    -- 'buildCommit'); 'Nothing' otherwise.
+  , versionInfoCommitDate :: Maybe String
+    -- ^ The date of that commit, when it came from a repository (see
+    -- 'buildCommitDate').
+  , versionInfoCompiler  :: String
+    -- ^ The Haskell implementation, e.g. @"ghc-9.10.3"@.
+  , versionInfoPlatform  :: String
+    -- ^ Operating system and architecture, e.g. @"darwin-aarch64"@.
+  , versionInfoFlags     :: [BuildFlag]
+    -- ^ The Cabal flags this build was made with (see 'buildFlags').
+  } deriving (Eq, Show)
+
+-- | The commit this build was made from, determined when the module is
+-- compiled.
+--
+-- The @RZK_GIT_COMMIT@ environment variable wins when it is set; it is the only
+-- route for a build with no repository to read, such as one from a Hackage
+-- tarball, and the release workflow sets it. Otherwise the commit comes from
+-- the checkout the build ran in, so an ordinary @stack build@ stamps itself
+-- too; a tree with uncommitted changes to tracked files is marked @-dirty@.
+-- The hash is reported in full, as @rustc -vV@ and @ghc --info@ do: this is the
+-- verbose output, and an abbreviation can become ambiguous as a repository
+-- grows.
+-- A build that can find neither reports 'Nothing'.
+--
+-- Note that a stale stamp is possible: neither stack nor GHC tracks the
+-- environment for recompilation, and stack may skip a package it considers
+-- unchanged even though @HEAD@ has moved. A clean build always gets it right,
+-- which is what CI does for a release binary.
+buildCommit :: Maybe String
+buildCommit
+  | Just fromEnv <- envCommit = Just fromEnv
+  | hash == "UNKNOWN"         = Nothing
+  | otherwise                 = Just (hash <> dirty)
+  where
+    hash = $(gitHash)
+    dirty
+      | $(gitDirtyTracked) = "-dirty"
+      | otherwise          = ""
+
+-- | The commit named by @RZK_GIT_COMMIT@ when this module was compiled.
+envCommit :: Maybe String
+envCommit = $(runIO (lookupEnv "RZK_GIT_COMMIT") >>= lift)
+
+-- | The date of 'buildCommit', when the commit came from a repository.
+--
+-- A commit supplied through @RZK_GIT_COMMIT@ comes with no date, and reporting
+-- the checkout's date next to someone else's commit would be misleading, so
+-- this is 'Nothing' in that case.
+buildCommitDate :: Maybe String
+buildCommitDate
+  | Just _ <- envCommit = Nothing
+  | date == "UNKNOWN"   = Nothing
+  | otherwise           = Just (isoCommitDate date)
+  where
+    date = $(gitCommitDate)
+
+-- | Git's default commit date (@Fri Aug 21 21:14:42 2026 +0300@) as a plain ISO
+-- date (@2026-08-21@), which is the form @rustc -vV@ reports. A date that does
+-- not parse is passed through unchanged.
+isoCommitDate :: String -> String
+isoCommitDate raw = case words raw of
+  [_weekday, month, day, _time, year, _timezone]
+    | Just m <- lookup month months -> year <> "-" <> m <> "-" <> twoDigits day
+  _ -> raw
+  where
+    twoDigits [d] = ['0', d]
+    twoDigits ds  = ds
+    months = zip
+      [ "Jan", "Feb", "Mar", "Apr", "May", "Jun"
+      , "Jul", "Aug", "Sep", "Oct", "Nov", "Dec" ]
+      [ "01", "02", "03", "04", "05", "06"
+      , "07", "08", "09", "10", "11", "12" ]
+
+-- | The build description of the running rzk.
+versionInfo :: VersionInfo
+versionInfo = VersionInfo
+  { versionInfoVersion  = version
+  , versionInfoCommit   = buildCommit
+  , versionInfoCommitDate = buildCommitDate
+  , versionInfoCompiler =
+      System.Info.compilerName <> "-" <> showVersion System.Info.fullCompilerVersion
+  , versionInfoPlatform = System.Info.os <> "-" <> System.Info.arch
+  , versionInfoFlags    = buildFlags
+  }
+
+-- | Render a build description as a block of lines, as printed by
+-- @rzk version --full@.
+ppVersionInfo :: VersionInfo -> String
+ppVersionInfo VersionInfo{..} = unlines $ concat
+  [ [ "rzk " <> showVersion versionInfoVersion <> commitSuffix ]
+  , commitDateLine
+  , [ "built with: " <> versionInfoCompiler
+    , "platform:   " <> versionInfoPlatform
+    , "flags:      " <> unwords (map ppFlag versionInfoFlags)
+    ]
+  ]
+  where
+    commitSuffix = case versionInfoCommit of
+      Nothing     -> " (commit unknown)"
+      Just commit -> " (" <> commit <> ")"
+    commitDateLine = case versionInfoCommitDate of
+      Nothing   -> []
+      Just date -> ["committed:  " <> date]
+    -- Cabal's own notation for a flag assignment, as in `cabal --flags=-lsp`.
+    ppFlag (BuildFlag name state) = case state of
+      FlagOn  -> '+' : name
+      FlagOff -> '-' : name
+
+instance ToJSON FlagState where
+  toJSON FlagOn  = toJSON True
+  toJSON FlagOff = toJSON False
+
+instance ToJSON BuildFlag where
+  toJSON BuildFlag{..} = object
+    [ "name"    .= buildFlagName
+    , "enabled" .= buildFlagState
+    ]
+
+instance ToJSON VersionInfo where
+  toJSON VersionInfo{..} = object
+    [ "version"    .= showVersion versionInfoVersion
+    , "commit"     .= versionInfoCommit
+    , "commitDate" .= versionInfoCommitDate
+    , "compiler"   .= versionInfoCompiler
+    , "platform"   .= versionInfoPlatform
+    , "flags"      .= versionInfoFlags
+    ]
diff --git a/test/Rzk/HolesSpec.hs b/test/Rzk/HolesSpec.hs
--- a/test/Rzk/HolesSpec.hs
+++ b/test/Rzk/HolesSpec.hs
@@ -440,8 +440,8 @@
                  <> "#postulate pick : (X : U) -> (Y : U) -> X -> X\n"
                  <> "#define goal : A -> A := ?\n"
       in flip oneHole (holesWithLemmas ["pick"] metaSrc) $ \h -> do
-           cands h `shouldContain` ["pick ? ?"]
-           filter (`elem` ["pick", "pick ?"]) (cands h) `shouldBe` []
+           cands h `shouldContain` ["pick ?X ?Y"]
+           filter (`elem` ["pick", "pick ?X"]) (cands h) `shouldBe` []
 
     -- Also at the schema's own type: the bare alias is not offered (writing
     -- the alias is the user's call), while the saturated spine still is.
@@ -450,7 +450,7 @@
                   <> "#define my-id (X : U) (x : X) : X := x\n"
                   <> "#define goal : (X : U) -> X -> X := ?\n"
       in flip oneHole (holesWithLemmas ["my-id"] aliasSrc) $ \h -> do
-           cands h `shouldContain` ["my-id ?"]
+           cands h `shouldContain` ["my-id ?X"]
            filter (== "my-id") (cands h) `shouldBe` []
 
     -- A lemma whose result type is a motive application (@ind-path ... : C x p@)
@@ -466,8 +466,25 @@
                 <> "  := idJ (A , a , C , d , x , p)\n"
                 <> "#define goal (A : U) (x y : A) (p : x = y) : y = x := ?\n"
       in flip oneHole (holesWithLemmas ["ind-path"] indSrc) $ \h ->
-           cands h `shouldContain` ["ind-path ? ? ? ? ? ?"]
+           cands h `shouldContain` ["ind-path ?A ?a ?C ?d ?x ?p"]
 
+    -- A projection is flexible for the same reason an application is: @first ?@
+    -- has no shape of its own. Without that, a lemma about projections is
+    -- offered only when both endpoints happen to match structurally, and is
+    -- dropped exactly when the goal needs it, e.g. the first-path-Σ step of the
+    -- Yoneda geodesic, whose goal has a plain variable on the right.
+    it "offers a lemma with a projection endpoint against a rigid endpoint" $
+      let fstSrc = "#lang rzk-1\n"
+                <> "#define fst-path (A : U) (B : A -> U)\n"
+                <> "  (s t : Sigma (a : A) , B a) (e : s = t)\n"
+                <> "  : first s = first t\n"
+                <> "  := idJ (Sigma (a : A) , B a , s ,\n"
+                <> "          \\ t' e' -> first s = first t' , refl , t , e)\n"
+                <> "#define goal (A : U) (B : A -> U)\n"
+                <> "  (w : Sigma (a : A) , B a) (c : A) : first w = c := ?\n"
+      in flip oneHole (holesWithLemmas ["fst-path"] fstSrc) $ \h ->
+           cands h `shouldContain` ["fst-path ?A ?B ?s ?t ?e"]
+
     -- Fitting anything does not mean escaping the allow-list: a hole-headed
     -- lemma is still only offered when the level grants it.
     it "does not offer a hole-headed lemma that was not allow-listed" $
@@ -577,6 +594,15 @@
     it "introduces a function goal as a λ with a hole body" $ do
       case holesOf "#lang rzk-1\n#define f : (A : U) -> ((n : A) -> A)\n  := \\ A -> ?\n" of
         [h] -> intros h `shouldBe` ["\\ n → ?"]
+        hs  -> expectationFailure ("expected exactly one hole, got " <> show (length hs))
+
+    -- A hole in a cube position gets the cube's closed points. Writing a corner
+    -- of a square as `α ? ?` is common, and 0₂ / 1₂ are the only two points of
+    -- the directed interval, so leaving them unoffered left such a hole with no
+    -- introduction at all. An in-scope cube variable is already a candidate.
+    it "introduces a directed-interval goal as its two endpoints" $ do
+      case holesOf "#lang rzk-1\n#define D1 : 2 -> TOPE := \\ t -> TOP\n#define f (A : U) (a : D1 -> A) : A := a ?\n" of
+        [h] -> intros h `shouldBe` ["0₂", "1₂"]
         hs  -> expectationFailure ("expected exactly one hole, got " <> show (length hs))
 
     -- The λ binder is freshened so it does not shadow a name already in scope.
diff --git a/test/Rzk/VersionSpec.hs b/test/Rzk/VersionSpec.hs
new file mode 100644
--- /dev/null
+++ b/test/Rzk/VersionSpec.hs
@@ -0,0 +1,63 @@
+{-|
+Module      : Rzk.VersionSpec
+Description : Tests for the reported build description
+-}
+{-# LANGUAGE OverloadedStrings #-}
+module Rzk.VersionSpec where
+
+import           Data.Aeson                 (encode)
+import qualified Data.ByteString.Lazy.Char8 as BL8
+import           Data.List                  (isPrefixOf)
+import           Data.Version               (showVersion)
+import           Test.Hspec
+
+import           Rzk.Version
+
+spec :: Spec
+spec = do
+  describe "versionString" $ do
+    -- Tools scrape `rzk version` for the version and nothing else: the VS Code
+    -- extension takes the whole of stdout, trims it, and passes it to semver.
+    -- Details belong in `rzk version --full` instead.
+    it "is the bare version, with no prefix or extra words" $
+      versionString `shouldBe` showVersion version
+
+  describe "ppVersionInfo" $ do
+    it "leads with the version" $
+      ("rzk " ++ versionString) `shouldSatisfy` (`isPrefixOf` ppVersionInfo versionInfo)
+
+    it "reports every field" $ do
+      let rendered = ppVersionInfo versionInfo
+      rendered `shouldContain` versionInfoCompiler versionInfo
+      rendered `shouldContain` versionInfoPlatform versionInfo
+
+    it "renders flags in Cabal's notation" $ do
+      let rendered = ppVersionInfo versionInfo
+            { versionInfoFlags = [BuildFlag "lsp" FlagOn, BuildFlag "fancy" FlagOff] }
+      rendered `shouldContain` "flags:      +lsp -fancy"
+
+    it "omits the commit date line when there is no date" $
+      ppVersionInfo versionInfo { versionInfoCommitDate = Nothing }
+        `shouldNotContain` "committed:"
+
+  describe "isoCommitDate" $ do
+    it "normalises git's default format" $
+      isoCommitDate "Fri Aug 21 21:14:42 2026 +0300" `shouldBe` "2026-08-21"
+
+    it "pads a single-digit day" $
+      isoCommitDate "Mon Jan 5 09:00:00 2026 -0500" `shouldBe` "2026-01-05"
+
+    it "passes an unrecognised date through unchanged" $
+      isoCommitDate "2026-08-21" `shouldBe` "2026-08-21"
+
+  describe "the JSON encoding" $ do
+    it "carries every field" $ do
+      let json = BL8.unpack (encode versionInfo)
+      mapM_ (shouldContain json)
+        [ "\"version\":\"" <> versionString <> "\""
+        , "\"compiler\":\"" <> versionInfoCompiler versionInfo <> "\""
+        , "\"platform\":\"" <> versionInfoPlatform versionInfo <> "\""
+        , "\"flags\":[{\"enabled\":true,\"name\":\"lsp\"}]"
+        , "\"commit\":"
+        , "\"commitDate\":"
+        ]
diff --git a/test/typecheck/cases/happy-modal-basics.rzk b/test/typecheck/cases/happy-modal-basics.rzk
--- a/test/typecheck/cases/happy-modal-basics.rzk
+++ b/test/typecheck/cases/happy-modal-basics.rzk
@@ -28,14 +28,14 @@
   : A
   :=
   let mod _op x_1 := x in
-  let mod _op / _op x_2 := x_1 in
+  let _op mod _op x_2 := x_1 in
   x_2
 
 #def sharp-join (A : U) (a : _# (_# A))
   : _# A
   :=
   let mod _# x_1 := a in
-  let mod _# / _# x_2 := x_1 in
+  let _# mod _# x_2 := x_1 in
   mod _# x_2
 
 #def flat-to-sharp (A :_b U) (x :_b A)
@@ -54,14 +54,14 @@
   : _id A
   :=
   let mod _id x_1 := a in
-  let mod _id / _id x_2 := x_1 in
+  let mod _id x_2 := x_1 in
   mod _id x_2
 
 #def op-op-is-id (A : U) (x : _op (_op A))
   : _id A
   :=
   let mod _op x_1 := x in
-  let mod _op / _op x_2 := x_1 in
+  let _op mod _op x_2 := x_1 in
   mod _id x_2
 
 -- comp(Flat, Op) = Flat: flat var stays accessible inside op-under-flat
@@ -293,6 +293,30 @@
   = (let mod _op b := y in let mod _op a := x in mod _op (a))
   := refl
 
+-- ============ Eta ============
+
+-- Eta for a right-adjoint modal type: f = mod _op (extract f)
+#def op-modal-eta
+  (A : U)
+  (B :_op U)
+  (f : _op ((_op A) → B))
+  : ( mod _op (\ (x : _op A) →
+        let _id mod _op a := x in
+        let _op mod _op b :=
+          (let mod _op f0 := f in mod _op (f0 (mod _op a))) in
+          b))
+    = f
+  := refl
+
+-- A flat point bound by let mod is discrete about its value, not its name
+#def flat-letmod-discrete
+  (A :_b U)
+  (a :_b A)
+  (w :_b 2 × 2)
+  : A
+  := let mod _b i := mod _b (first w)
+     in recOR( i === 0_2 |-> a , i === 1_2 |-> a )
+
 -- Id letmod commutes (RA)
 #def id-letmod-commute
   (A : U) (B : U)
@@ -319,4 +343,29 @@
 #def id-eta
   (A : U) (x : _id A)
   : (let mod _id a := x in mod _id a) = x
+  := refl
+
+-- Eta holds through a non-_id external lock (`let ext mod inn`)
+#def sharp-op-eta
+  (A :_b U) (v :_b (_# A))
+  : (let _op mod _# a := v in mod _# a) = v
+  := refl
+
+-- ============ Single-modality sugar: `let m x := t` ============
+-- `let m x := t in u` is sugar for `let mod m x := mod m t in u`, i.e.
+-- `let mod m x := mod m t in u`, checking that `t` is available under `m`.
+
+#def sharp-let-sugar
+  (A : U) (a :_# A)
+  : (let _# x := a in mod _# x) = (let mod _# x := mod _# a in mod _# x)
+  := refl
+
+#def op-let-sugar
+  (A :_op U) (a :_op A)
+  : (let _op x := a in mod _op x) = mod _op a
+  := refl
+
+#def flat-let-sugar
+  (A :_b U) (a :_b A)
+  : (let _b x := a in mod _b x) = mod _b a
   := refl
diff --git a/test/typecheck/cases/happy-modal-extract-external-lock.expect.yaml b/test/typecheck/cases/happy-modal-extract-external-lock.expect.yaml
new file mode 100644
--- /dev/null
+++ b/test/typecheck/cases/happy-modal-extract-external-lock.expect.yaml
@@ -0,0 +1,3 @@
+status: ok
+regression_for:
+  - modal-extract-external-lock-insignificant
diff --git a/test/typecheck/cases/happy-modal-extract-external-lock.rzk b/test/typecheck/cases/happy-modal-extract-external-lock.rzk
new file mode 100644
--- /dev/null
+++ b/test/typecheck/cases/happy-modal-extract-external-lock.rzk
@@ -0,0 +1,11 @@
+#lang rzk-1
+
+-- The external component of an extraction is bookkeeping, not denotation:
+-- the same neutral t, bound through an external ♯ lock and without one,
+-- denotes the ♯-counit of t both times, so the two bodies agree. With the
+-- external components compared in unification, the two stuck extractions
+-- ($extract$ ♯/♯ t and $extract$ _id/♯ t) would be severed, breaking η for
+-- the right-adjoint modalities (etaExpand always writes _id).
+#define same-counit (A : U) (f : A -> A) (t : _# A)
+  : (let _# mod _# x := t in mod _# (f x)) =_{_# A} (let mod _# y := t in mod _# (f y))
+  := refl
diff --git a/test/typecheck/cases/happy-modal-let-into.rzk b/test/typecheck/cases/happy-modal-let-into.rzk
--- a/test/typecheck/cases/happy-modal-let-into.rzk
+++ b/test/typecheck/cases/happy-modal-let-into.rzk
@@ -6,7 +6,7 @@
   : _# A
   :=
   let mod _# x_1 := a into (\ _ -> _# A) in
-  let mod _# / _# x_2 := x_1 in
+  let _# mod _# x_2 := x_1 in
   mod _# x_2
 
 #def double-op-into
@@ -15,7 +15,7 @@
   : A
   :=
   let mod _op x_1 := x into (\ _ -> A) in
-  let mod _op / _op x_2 := x_1 in
+  let _op mod _op x_2 := x_1 in
   x_2
 
 #def into-agrees-with-plain
@@ -43,3 +43,23 @@
   (x : _# A)
   : C x
   := let mod _# a := x into (\ z -> C z) in c a
+
+-- The single-modality binding accepts a motive too. Its value is `mod _# a`
+-- by construction, so the motive is applied to that.
+#def sugar-into
+  (A : U)
+  (C : (_# A) -> U)
+  (c : (a :_# A) -> C (mod _# a))
+  (a :_# A)
+  : C (mod _# a)
+  := let _# x := a into C in c x
+
+-- A motive on the full composition form, where the external lock is not `_id`.
+#def comp-into
+  (A : U)
+  (a : _# (_# A))
+  : _# A
+  :=
+  let mod _# x_1 := a in
+  let _# mod _# x_2 := x_1 into (\ _ -> _# A) in
+  mod _# x_2
diff --git a/test/typecheck/cases/happy-nbe-transport-refl-spine.expect.yaml b/test/typecheck/cases/happy-nbe-transport-refl-spine.expect.yaml
new file mode 100644
--- /dev/null
+++ b/test/typecheck/cases/happy-nbe-transport-refl-spine.expect.yaml
@@ -0,0 +1,4 @@
+status: ok
+regression_for:
+  - nbe-glued-spines
+  - https://github.com/BennoLossin/sHoTT/commit/84fdfe3160cd785eec36f75590fad1b5d32e5cd5
diff --git a/test/typecheck/cases/happy-nbe-transport-refl-spine.rzk b/test/typecheck/cases/happy-nbe-transport-refl-spine.rzk
new file mode 100644
--- /dev/null
+++ b/test/typecheck/cases/happy-nbe-transport-refl-spine.rzk
@@ -0,0 +1,62 @@
+#lang rzk-1
+
+-- Transporting a large term along `refl`. The path is `refl`, so the whole
+-- application ι-reduces to the term it carries, one δ-step away. The
+-- conversion fast path (Rzk.TypeCheck.NbE) can then answer from the two
+-- spines, without unfolding what is carried.
+--
+-- This is the shape that made a definition in Benno Lossin's sHoTT fork take
+-- five minutes to check. There `path-of-pairs-pair-of-paths` was applied with
+-- `refl` as its first component path, which leaves `transport … refl t` to be
+-- compared against `t`. In that proof `t` was a nested iso-induction with a
+-- very large normal form. Here `big` plays that part, and its normal form has
+-- 2^22 applications.
+
+#define CN : U
+  := (X : U) → (X → X) → X → X
+
+#define czero : CN
+  := \ X s x → x
+
+#define csucc (n : CN) : CN
+  := \ X s x → s (n X s x)
+
+#define cadd (m n : CN) : CN
+  := \ X s x → m X s (n X s x)
+
+#define cexp (m n : CN) : CN
+  := \ X → n (X → X) (m X)
+
+#define c1 : CN := csucc czero
+#define c2 : CN := cadd c1 c1
+#define c4 : CN := cadd c2 c2
+#define c8 : CN := cadd c4 c4
+#define c16 : CN := cadd c8 c8
+#define c22 : CN := cadd c16 (cadd c4 c2)
+
+-- 2 ^ 22, i.e. a normal form of a few million nodes
+#define big : CN := cexp c2 c22
+
+-- rzk has no primitive transport; it goes through idJ.
+#define transport
+  ( A : U)
+  ( C : A → U)
+  ( x y : A)
+  ( p : x = y)
+  ( cx : C x)
+  : C y
+  := idJ (A, x, \ z _ → C z, cx, y, p)
+
+#define test-transport-refl
+  ( A : U)
+  ( a : A)
+  : transport A (\ _ → CN) a a refl big = big
+  := refl
+
+-- and the other way round, since the alignment search must reach a shared
+-- head from either side
+#define test-transport-refl-flipped
+  ( A : U)
+  ( a : A)
+  : big = transport A (\ _ → CN) a a refl big
+  := refl
diff --git a/test/typecheck/cases/happy-nbe-wrapper-alignment.expect.yaml b/test/typecheck/cases/happy-nbe-wrapper-alignment.expect.yaml
new file mode 100644
--- /dev/null
+++ b/test/typecheck/cases/happy-nbe-wrapper-alignment.expect.yaml
@@ -0,0 +1,4 @@
+status: ok
+regression_for:
+  - nbe-glued-spines
+  - nbe-shared-head-alignment
diff --git a/test/typecheck/cases/happy-nbe-wrapper-alignment.rzk b/test/typecheck/cases/happy-nbe-wrapper-alignment.rzk
new file mode 100644
--- /dev/null
+++ b/test/typecheck/cases/happy-nbe-wrapper-alignment.rzk
@@ -0,0 +1,48 @@
+#lang rzk-1
+
+-- A term compared against itself under a thin wrapper. The wrapper is a
+-- δ-step away from what it wraps, so the conversion fast path
+-- (Rzk.TypeCheck.NbE) can answer from the two spines, without unfolding
+-- either side. Normalising instead means normalising `big`, whose normal
+-- form has 2^22 applications.
+--
+-- We test both directions. The search for a shared head has to be
+-- breadth-first over both sides at once. Walking one side to the end before
+-- starting the other normalises that side in full whenever the wrapper is on
+-- the side walked second.
+
+#define CN : U
+  := (X : U) → (X → X) → X → X
+
+#define czero : CN
+  := \ X s x → x
+
+#define csucc (n : CN) : CN
+  := \ X s x → s (n X s x)
+
+#define cadd (m n : CN) : CN
+  := \ X s x → m X s (n X s x)
+
+#define cexp (m n : CN) : CN
+  := \ X → n (X → X) (m X)
+
+#define c1 : CN := csucc czero
+#define c2 : CN := cadd c1 c1
+#define c4 : CN := cadd c2 c2
+#define c8 : CN := cadd c4 c4
+#define c16 : CN := cadd c8 c8
+#define c22 : CN := cadd c16 (cadd c4 c2)
+
+-- 2 ^ 22, i.e. a normal form of a few million nodes
+#define big : CN := cexp c2 c22
+
+#define alias (A : U) (a : A) : A := a
+
+-- wrapper on the right
+#define test-wrapper-right : big = alias CN big := refl
+
+-- wrapper on the left
+#define test-wrapper-left : alias CN big = big := refl
+
+-- a wrapper on each side, so neither single-sided walk finds the alignment
+#define test-wrapper-both : alias CN big = alias CN big := refl
diff --git a/test/typecheck/cases/ill-modal-let-into-body.rzk b/test/typecheck/cases/ill-modal-let-into-body.rzk
--- a/test/typecheck/cases/ill-modal-let-into-body.rzk
+++ b/test/typecheck/cases/ill-modal-let-into-body.rzk
@@ -1,6 +1,6 @@
 #lang rzk-1
 
--- The body of a `let mod ... into C ...` must inhabit the motive at the
+-- The body of a `let m mod n ... into C ...` must inhabit the motive at the
 -- introduction form, i.e. C (mod ♭ a). Here the motive is the constant
 -- family ♭ A, so the body `c a : C (mod ♭ a)` does not fit.
 #def into-body-misses-motive